Các khía cạnh được biết đến của vấn đề nhân viên bán hàng đi du lịch

Đối với phương pháp phân nhánh, điều cần thiết là phải biết nhiều khía cạnh của các đa giác được tạo ra bởi vấn đề. Tuy nhiên, hiện tại đây là một trong những vấn đề khó khăn nhất để thực sự tính toán tất cả các khía cạnh của các đa giác như vậy khi chúng nhanh chóng tăng kích thước.

Đối với một vấn đề tối ưu hóa tùy ý, đa giác được sử dụng bởi phương pháp cắt nhánh hoặc cũng có thể bằng phương pháp mặt phẳng cắt là vỏ lồi của tất cả các đỉnh khả thi. Một đỉnh là một sự phân công của tất cả các biến của mô hình. Là một (rất đơn giản) Ví dụ: nếu ai có thể phát huy tối đa st và thì các đỉnh , và $2\cdot x+y$ $x+y \leq 1$ $0\leq x,y\leq 1.5$ $(0,0)$ $(0,1)$ $(1,0)$ là các đỉnh khả thi. vi phạm bất đẳng thức và do đó không khả thi. Vấn đề tối ưu hóa (tổ hợp) sẽ là lựa chọn trong số các đỉnh khả thi. (Trong trường hợp này, rõ ràng là tối ưu). Thân lồi của các đỉnh này là tam giác có chính xác ba đỉnh này. Các khía cạnh của polytope đơn giản này là , và $(1,1)$ $x+y\leq 1.5$ $(1,0)$ $x\geq0$ $y\geq 0$ $x+y\leq 1$ . Lưu ý rằng mô tả thông qua các khía cạnh chính xác hơn mô hình. Trong hầu hết các vấn đề khó khăn - chẳng hạn như TSP - số lượng các khía cạnh vượt quá số lượng bất đẳng thức mô hình theo một số bậc độ lớn.

Xem xét vấn đề nhân viên bán hàng du lịch, với số lượng nút là đa giác được biết đầy đủ và có bao nhiêu khía cạnh. Nếu nó không hoàn thành, giới hạn thấp hơn về số lượng các khía cạnh là gì?

Tôi đặc biệt quan tâm đến cái gọi là công thức đường dẫn hamiltonian của TSP:

m i n \sum_{i = 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0}^{i - 1} c_{i, j} \cdot x_{i, j} + \sum_{j = i + 1}^{n - 1} c_{i, j} \cdot x_{i, j})

$min \sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j})$

\forall i \neq j : 0 \leq x_{i, j} \leq 1

$\forall i \neq j:\ \ 0 \leq x_{i,j}\leq 1$

\forall i \neq j x_{i, j} + x_{j, i} \leq 1

$\forall i \neq j\ \ \ x_{i,j}+x_{j,i}\leq 1$

\forall j \sum_{i = 0}^{j - 1} x_{i, j} + \sum_{i = j + 1}^{n - 1} x_{i, j} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{i,j}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{i,j}\leq 1$

\forall j \sum_{i = 0}^{j - 1} x_{j, i} + \sum_{i = j + 1}^{n - 1} x_{j, i} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{j,i}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{j,i}\leq 1$

\sum_{i = 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0}^{i - 1} x_{i, j} + \sum_{j = i + 1}^{n - 1} x_{i, j}) = n - 1

$\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}x_{i,j})=n-1$

Nếu bạn có bất kỳ thông tin nào về polytopes của các công thức khác của TSP, vui lòng chia sẻ điều đó.

— stefan
nguồn

Cá nhân, tôi không chắc chắn "đa giác của một vấn đề" nghĩa là gì. Nhưng sau đó, tôi có ít nền tảng về lý thuyết phức tạp.

— Raphael

Đó không phải là lý thuyết thực sự phức tạp (không phải tôi gắn thẻ thẻ này). Trên thực tế không có thẻ phù hợp cho loại câu hỏi này. Một thẻ phù hợp sẽ là phương pháp phân nhánh hoặc cắt hoặc mặt phẳng cắt. Tôi sẽ thêm một số thông tin về những gì polytope tôi đang nói về một thời gian ngắn

— stefan

@Raphael: Tôi đã cập nhật câu hỏi, vì vậy bạn có thể đọc một cái gì đó về các khía cạnh và đa giác.

— stefan

n!

$n!$

{0, 1}^{n}

$\{0, 1\}^n$

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

Câu trả lời:

Đối với các giới hạn tiệm cận, Fiorini, Massar, Pokutta, Tiwari và de Wolf gần đây đã cho thấy các giới hạn theo cấp số nhân về số lượng các mặt của bất kỳ đa giác nào chiếu tới đa giác TSP (đa giác TSP, là vỏ của các giải pháp TSP khả thi). Điều này mạnh hơn những gì bạn yêu cầu và ngụ ý rằng thậm chí việc thêm các biến phụ sẽ không làm cho polytope TSP có thể biểu diễn một cách hiệu quả.

Bài báo của họ được tiếp nối với bài báo cổ điển năm 1988 của Yannakakis, người đã cho thấy kết quả tương tự nhưng chỉ đối với các đa giác thỏa mãn một điều kiện đối xứng nhất định.

— Sasho Nikolov
nguồn

Cảm ơn vì đường dẫn này! Đó chắc chắn là một kết quả ấn tượng, mặc dù sẽ rất kỳ quặc khi có một đa giác đẹp (= không tăng theo cấp số nhân) cho một vấn đề NP.

— stefan

phần đáng ngạc nhiên là có thể chứng minh điều đó :)

— Sasho Nikolov

@stefan afaik một đa giác tăng trưởng đa thức cho một vấn đề NP sẽ ngụ ý P = NP như các trạng thái raphael ở trên ... cũng có ai thấy một tuyên bố / thảo luận về những gì sẽ được yêu cầu để mở rộng Fiorini et al thành bằng chứng P! = NP?

— vzn

câu trả lời ngắn gọn là kết quả là về một mô hình tính toán yếu hơn so với các TM giới hạn đa thời gian, và bạn thích một phiên bản của nó cho một mô hình mạnh như P. vì bằng chứng cho thấy các công thức mở rộng yếu hơn P, Rothvoss gần đây đã chứng minh rằng đa giác phù hợp có độ phức tạp mở rộng theo cấp số nhân; tuy nhiên, các hàm tuyến tính tùy ý trên đa giác phù hợp có thể được giải bằng thuật toán Edmonds hoặc phương pháp ellipsoid.

— Sasho Nikolov

Về mặt kỹ thuật, có nhiều lý do khiến kết quả khác xa so với P so với NP: kết quả dành cho mã hóa cố định các giải pháp vấn đề dưới dạng vectơ và không loại trừ mã hóa thông minh hơn có thể cho phép các công thức polysize; Ngoài ra, kết quả nói rằng đối với mã hóa đã cho, mọi LP nhỏ gọn đều thất bại ở một số hàm mục tiêu, nhưng có thể sử dụng các LP khác nhau cho các hàm mục tiêu khác nhau; cuối cùng, về cơ bản chúng ta vẫn không có giới hạn rõ ràng nào chống lại SDP, và sau đó có phương pháp ellipsoid có thể giải quyết LP kích thước theo cấp số nhân

— Sasho Nikolov

Có một thư viện gọi là SMAPO (viết tắt của thư viện mô tả tuyến tính về các trường hợp vấn đề SMAll của POlytopes trong tối ưu hóa tổ hợp) cho rất nhiều đa giác bao gồm TVP đối xứng cũng như TSP đồ họa.

Đối với STSP, đây là danh sách số lượng các khía cạnh cho các đa giác nhỏ

 Nodes in STSP  |  # of facets
----------------+--------------
       6        |         100
       7        |        3437
       8        |      194187
       9        |    42104442
      10        | 51043900866

— stefan
nguồn