Làm thế nào để sử dụng máy orure Turing không dẫn đến mâu thuẫn?

Làm thế nào chúng ta có thể đảm bảo rằng chúng ta đang tiếp tục đưa ra những tuyên bố hợp lý và hợp lý về các lớp phức tạp khi sử dụng máy Turing orory? Theo sự hiểu biết của tôi (dựa trên các định nghĩa được đưa ra trong sách giáo khoa giới thiệu về chủ đề này) máy orory Turing có thể xác định trạng thái thành viên của chuỗi đối với ngôn ngữ tiên tri trong một bước tính toán. Tuy nhiên, các ngôn ngữ tiên tri thường được sử dụng là không thể giải quyết trong thời gian liên tục (ví dụ, lấy một lời tiên tri hoàn chỉnh EXPTIME). Đối với tôi điều này có vẻ như "mở cửa" cho những mâu thuẫn và sau tất cả, bất cứ điều gì xảy ra sau một mâu thuẫn.

Có một số cách để xem xét điều này.

Một là trong các bằng chứng, hàm ý giống như một hàm, lấy đầu vào làm bằng chứng của một cái gì đó và đưa ra một bằng chứng về một thứ khác.

Chúng ta có thể viết các hàm hoạt động trên các giá trị mà chúng ta không có.

$h$

$haltingPlusOne : \{h \} \rightarrow \mathbb{N}$

$haltingPlusOne(x) = x + 1$

Hàm này lấy đầu vào là số Ngừng và trả về số Ngừng cộng với một. Rõ ràng đây là một chức năng được xác định rõ: nếu chúng ta cung cấp cho nó đầu vào đúng, nó cung cấp đầu ra đúng. Thực tế là chúng ta không thể tìm thấy đầu vào phù hợp sẽ không làm cho nó ít có giá trị của một chuyển đổi.

$X$

Điều quan trọng nữa là nhận ra rằng khi chúng ta nói điều gì đó như "Không có máy Turing nào có thể quyết định vấn đề tạm dừng", nghĩa là, không có TM nào phù hợp với định nghĩa chuẩn của TM quyết định vấn đề tạm dừng.

Một lời tiên tri về cơ bản là nói "Giả sử chúng ta có một TM phù hợp với định nghĩa thông thường ngoại trừ giả sử chúng ta có thể giải quyết một số vấn đề". Vì vậy, không có mâu thuẫn, vì chúng tôi không cho rằng có một TM bình thường chấp nhận vấn đề, chúng tôi cho rằng có một TM đặc biệt chấp nhận vấn đề.

Trong một tương tự rất không chính thức, hãy nghĩ về nó như thế này. Nếu tôi có thể chứng minh với bạn rằng không có con người nào không có siêu năng lực có thể bay, thì không có gì mâu thuẫn khi nói rằng có một siêu anh hùng có thể bay.

Những nhà tiên tri này là những đối tượng hoàn toàn hợp lý. Chúng ta không biết cách chế tạo các máy vật lý mô phỏng chúng, theo cách chúng ta có thể với các máy Turing, nhưng theo như chúng ta biết, không có mâu thuẫn cố hữu giữa các định nghĩa của chúng và các tiên đề cơ bản của chúng ta. Là đối tượng logic, những nhà tiên tri này tồn tại. Chúng tôi biết rằng chúng không phải là máy Turing tiêu chuẩn hoặc thuật ngữ Lambda-Tính toán hoặc chức năng đệ quy một phần. Luận án Church-Turing nói rằng không có mô hình nào mạnh hơn, nhưng nó không phải là một định lý, nó chỉ là một phỏng đoán và quá không chính thức để thực sự được chứng minh.

$A$$B$$B=B^A$

Vì vậy, điểm quan trọng trong việc sử dụng một oracle TM là gì? Tôi muốn nói rằng nó cho phép chúng ta chủ yếu xem xét lý thuyết về độ cứng (mức độ) của các vấn đề. Các nhà tiên tri thậm chí có thể là không thể giải quyết được. Trong trường hợp này, bạn có thể xác định toàn bộ hệ thống phân cấp các vấn đề không thể giải quyết được (mức độ Turing). Tất nhiên, nếu nhà tiên tri của bạn là vấn đề tạm dừng, bạn không thể chuyển đổi nhà tiên tri của mình thành TM truyền thống.

Khái niệm oracle TM cũng rất quan trọng để xác định một hình thức giảm mạnh (Turing giảm).

$\sf P$$\sf NP$

$w$$|w|$