Định lý của Parikh: CFL's có chứa các ngôn ngữ thông thường?

Câu đầu tiên của bài viết Wikipedia cho Định lý Parikh nêu rõ:

"Định lý của Parikh trong khoa học máy tính lý thuyết nói rằng nếu người ta chỉ nhìn vào số lần xuất hiện tương đối của các ký hiệu đầu cuối trong một ngôn ngữ không ngữ cảnh, không liên quan đến trật tự của chúng, thì ngôn ngữ không thể phân biệt được với ngôn ngữ thông thường."

Tôi đang gặp một số khó khăn để hiểu câu này. Tôi hiểu rằng CFL đơn phương có thể được mô tả như là sự kết hợp của nhiều chuỗi số học. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta áp dụng một hình thái cho một số CFL , giả sử, ánh xạ và cho một số và cho tất cả với , thì là một ngôn ngữ thông thường unary? Ai đó có thể giải thích về điều này?$h$$L$$a \longrightarrow a$$c \longrightarrow \epsilon$$a \in \Sigma$$c \in \Sigma$$c \neq a$$h(L)$

Hình ảnh Parikh của một từ là một vectơ đếm số lượng từng chữ cái trong bảng chữ cái: ví dụ giả sử bảng chữ cái là .$\Psi$$\Psi( abbabaaca ) = (5,3,1)$$\{a,b,c\}$

Hình ảnh Parikh của một ngôn ngữ là tập hợp các hình ảnh Parikh của các chuỗi trong ngôn ngữ: .$\Psi( \{a^nb^nc^n\mid n\ge 0 \}) = \{(n,n,n)\mid n\ge 0 \}$

Định lý nói rằng hình ảnh Parikh của các ngôn ngữ không ngữ cảnh trên thực tế là hình ảnh Parikh của các ngôn ngữ thông thường, ví dụ .$\Psi( \{( ab)^n c^n\mid n\ge 0 \}) = \Psi( (abc)^*)$

(Trong lần chỉnh sửa trước tôi đã có ví dụ . Về mặt kỹ thuật, nhưng người đọc sẽ lưu ý rằng ngôn ngữ không có ngữ cảnh.)$\Psi( \{a^nb^nc^n\mid n\ge 0 \}) = \Psi( (abc)^*)$

Tôi đồng ý từ ngữ trên Wikipedia không rõ ràng lắm, nhưng tôi tin rằng nó đề cập đến mối quan hệ sau:

Gọi hai chữ cái tương đương iff chúng bằng nhau khi bỏ qua thứ tự của các ký tự. Đó là để nói: sắp xếp từ vựng theo cách sắp xếp các ký tự của họ (bảo tồn các bản sao) tạo ra cùng một từ. (Nói cách khác: hình ảnh Parikh của họ giống nhau.)

Gọi hai ngôn ngữ tương đương với các từ của họ, nghĩa là: sắp xếp theo từ vựng, các từ của họ tạo ra cùng một ngôn ngữ. (Nói cách khác: hình ảnh Parikh của họ giống nhau.)

Định lý ngụ ý rằng mọi ngôn ngữ không ngữ cảnh là chữ cái tương đương với ngôn ngữ thông thường. Ví dụ,$\{ a^nb^n \mid n \geq 0\}$ là chữ tương đương với $(ab)^*$.

(Chữ cái khái niệm tương đương có thể được tìm thấy trong ví dụ Một bằng chứng đơn giản về định lý của Parikh , bởi J. Goldstine (1977) .)