Điều kiện cần và đủ cho cây bao trùm tối thiểu duy nhất

Đây là một vấn đề tập thể dục (Ex.3) từ bài giảng xuất sắc của Jeff Erickson Bài giảng 20: Cây kéo dài tối thiểu [Fa'13] .

Chứng minh rằng đồ thị có trọng số cạnh có cây bao trùm tối thiểu duy nhất khi và chỉ khi các điều kiện sau giữ $G$

Đối với bất kỳ phân vùng nào của các đỉnh thành hai tập con, cạnh có trọng số tối thiểu với một điểm cuối trong mỗi tập hợp con là duy nhất. $G$

Cạnh trọng lượng tối đa trong bất kỳ chu kỳ nào của là duy nhất. $G$

Hãy xem xét những " " định hướng và đồ thị sau . $\Rightarrow$ $G$

mst

$G$ $\{A\}$ $\{B,C\}$

Có phải tôi đã hiểu nhầm một số điểm? Hoặc nếu có sai sót trong định lý, làm thế nào chúng ta có thể sửa nó?

graph-theory spanning-trees

— hengxin
nguồn

Vâng, điều này dường như là một sai lầm. Cố gắng tìm ra phiên bản nào của bài tập là chính xác. Ví dụ, có vẻ như điều kiện thứ hai thực sự cần thiết.

— Yuval Filmus

Trừ khi tôi hiểu lầm, điều kiện thứ hai cũng không cần thiết. Xét đồ thị {(A, B, 1), (A, C, 1), (A, D, 1), (B, D, 10), (D, C, 10)}. Nó cũng có một cây bao trùm tối thiểu bao gồm các cạnh được kết nối với A. Nhưng có một chu kỳ với 2 cạnh trọng lượng tối đa (và điều kiện đầu tiên cũng không được đáp ứng). CC @YuvalFilmus

— babou

@jeffe, bạn nghĩ gì? ;)

— Luke Mathieson

G

$G$

1

$1$

G

$G$

Giáo sư! Vâng, đây là một lỗi. (Lưu ý đến bản thân: Thay đổi mọi trường hợp của "Chứng minh" thành "Chứng minh hoặc từ

— chối

Trả lời câu hỏi của riêng tôi bằng cách sao chép bình luận của @JeffE, tác giả của bài giảng ghi chú

Giáo sư! Vâng, đây là một lỗi. (Lưu ý đến bản thân: Thay đổi mọi trường hợp của "Chứng minh" thành "Chứng minh hoặc từ chối".) - JeffE

— hengxin
nguồn