Không phải tất cả các cây Đỏ-Đen đều cân đối?

Theo trực giác, "cây cân bằng" phải là cây trong đó các cây con trái và phải ở mỗi nút phải có số lượng nút "xấp xỉ như nhau".

Tất nhiên, khi chúng ta nói về cây đỏ-đen * (xem định nghĩa ở cuối) được cân bằng, chúng tôi thực sự có nghĩa là chúng cân bằng chiều cao và theo nghĩa đó, chúng được cân bằng.

Giả sử chúng ta cố gắng chính thức hóa trực giác trên như sau:

Định nghĩa: Cây nhị phân được gọi là -balbal, với , nếu với mỗi nút N , bất đẳng thức0 ≤ μ ≤ $\mu$$0 \le \mu \leq \frac{1}{2}$$N$

$$\mu \le \frac{|N_L| + 1}{|N| + 1} \le 1 - \mu$$

giữ và với mỗi $\mu' \gt \mu$ , có một số nút mà câu lệnh trên không thành công. $|N_L|$là số nút trong cây con bên trái của $N$ và $|N|$là số nút dưới gốc cây với $N$ là gốc (bao gồm cả gốc).

Tôi tin rằng, chúng được gọi là cây cân bằng trọng lượng trong một số tài liệu về chủ đề này.

Người ta có thể chỉ ra rằng nếu một cây nhị phân có $n$ nút là $\mu$ -balbal (đối với hằng số $\mu \gt 0$ ), thì chiều cao của cây là $\mathcal{O}(\log n)$ , do đó duy trì tìm kiếm tốt tính chất.

Vì vậy, câu hỏi là:

Có một số như vậy mà mỗi đủ lớn màu đỏ-đen cây là -balanced?$\mu \gt 0$$\mu$

Định nghĩa về cây Đỏ-Đen mà chúng tôi sử dụng (từ Giới thiệu về Thuật toán của Cormen et al):

Cây tìm kiếm nhị phân, trong đó mỗi nút được tô màu đỏ hoặc đen và

• Rễ có màu đen
• Tất cả các nút NULL đều màu đen
• Nếu một nút có màu đỏ, thì cả hai con của nó đều màu đen.
• Đối với mỗi nút, tất cả các đường dẫn từ nút đó đến các nút NULL con cháu có cùng số nút đen.

Lưu ý: chúng tôi không tính các nút NULL trong định nghĩa của -balbal ở trên. (Mặc dù tôi tin rằng nó không quan trọng nếu chúng ta làm).$\mu$

Yêu cầu : cây đỏ-đen có thể tùy tiện un- -balanced.$\mu$

Ý tưởng bằng chứng : Điền vào cây con bên phải với càng nhiều nút càng tốt và bên trái có càng ít nút càng tốt cho một số nút đen nhất định trên mỗi đường dẫn gốc lá.$k$

Chứng minh : Xác định chuỗi của cây đỏ đen để có nút đen trên mọi đường dẫn từ gốc đến bất kỳ lá (ảo) nào. Xác định với$T_k$$T_k$$k$$T_k = B(L_k, R_k)$

• $R_k$ cây hoàn chỉnh có chiều cao với cấp độ thứ nhất, thứ ba, ... màu đỏ, các cây khác màu đen và$2k - 1$
• $L_k$ cây hoàn chỉnh có chiều cao$k-1$ với tất cả các nút được tô màu đen.

Rõ ràng, tất cả $T_k$ đều là cây đỏ đen.

Ví dụ: đây là $T_1$ , $T_2$ và $T_3$ , tương ứng:

^{[ nguồn ]}

^{[ nguồn ]}

^{[ nguồn ]}

Bây giờ hãy để chúng tôi xác minh ấn tượng thị giác của bên phải là rất lớn so với bên trái. Tôi sẽ không đếm lá ảo; họ không ảnh hưởng đến kết quả.

Cây con bên trái của $T_k$ đã hoàn thành và luôn có chiều cao $k-1$ và do đó chứa $2^k - 1$ nút. Mặt khác, cây con bên phải, hoàn thành và có chiều cao $2k - 1$ và do đó chứa $2^{2k}-1$ nút. Bây giờ $\mu$ giá trị -balance cho thư mục gốc là

$\qquad \displaystyle \frac{2^k}{2^k + 2^{2k}} = \frac{1}{1 + 2^k} \underset{k\to\infty}{\to} 0$

trong đó chứng minh rằng không có $\mu > 0$ theo yêu cầu.

Không. Hãy xem xét một cây đỏ-đen với cấu trúc đặc biệt sau đây.

• Cây con bên trái là một cây nhị phân hoàn chỉnh với độ sâu , trong đó mọi nút đều màu đen.$d$
• Cây con bên phải là một cây nhị phân hoàn chỉnh có độ sâu , trong đó mọi nút ở độ sâu lẻ đều có màu đỏ và mọi nút ở độ sâu chẵn đều màu đen.$2d$

Thật đơn giản để kiểm tra xem đây có phải là cây đỏ đen hợp lệ không. Tuy nhiên, số lượng các nút trong cây con phải ( ) là xấp xỉ vuông của số nút trong cây con trái ( 2 d + 1 - 1 ).$2^{2d+1}-1$$2^{d+1}-1$