Biến khác biệt cho các mệnh đề khác nhau

Trong định lý độ phân giải chứng minh, thông thường các biến giả định trong các mệnh đề khác nhau là khác biệt. Đây không phải là một cái gì đó xảy ra tự động; nó đòi hỏi mã bổ sung đáng kể và tính toán để thực hiện. Cho rằng, tôi đang tìm kiếm một trường hợp thử nghiệm cho nó.

Vấn đề là, trong tất cả các trường hợp thử nghiệm tôi đã thử cho đến nay, nó không có gì khác biệt. Có lẽ nó chỉ quan trọng trong các trường hợp cạnh bất thường. Như Wikipedia đặt ra, "các biến trong các mệnh đề khác nhau là khác biệt ... Bây giờ, thống nhất Q (X) trong mệnh đề đầu tiên với Q (Y) trong mệnh đề thứ hai có nghĩa là dù sao X và Y cũng trở thành cùng một biến."

Có trường hợp kiểm tra đã biết nào thực sự sẽ đưa ra câu trả lời sai nếu các mệnh đề khác nhau sử dụng cùng một biến không?

logic automated-theorem-proving

— bức tường
nguồn

Chỉnh sửa: Tôi tìm thấy một ví dụ tốt hơn. Hãy xem xét các mệnh đề sau:

\begin{aligned} \neg P (x) \lor P (f (x)) \\ P (x) \\ \neg P (f (f (x))) \end{aligned}

$\begin{align} & \lnot P(x) \lor P(f(x)) \\ & P(x) \\ & \lnot P(f(f(x)))\\ \end{align}$

P (f (x))

$P(f(x))$

f (x)

$f(x)$

x

$x$

$x$ $x$ $x$ $x$

(Câu trả lời ban đầu.) Ví dụ: chúng ta có 4 mệnh đề:

$A\lor B(x)$
$\lnot A\lor C(x)$
$\lnot B(c)$
$\lnot C(d)$

$x, y$ $c, d$ $x$ $B(x)\lor C(x)$ $\lnot B(c)$ $C(c)$ $\lnot C(d)$

$x$ $y$ $B(x)\lor C(y)$ $\lnot B(c)$ $\lnot B(d)$

— Petr Pudlák
nguồn

B (x)

$B(x)$

\neg B (c)

$\lnot B(c)$

A

$A$

\neg A

$\lnot A$

@rwallace Không có các biến khác biệt không có nghĩa là bạn không thể rút ra mệnh đề trống, chỉ là các phương thức không hoàn thành. Nếu bạn luôn đổi tên các biến thì việc bạn chọn mệnh đề theo thứ tự nào, bạn sẽ luôn lấy được mệnh đề trống nếu bộ ban đầu không thỏa mãn - phương thức đã hoàn tất. Nhưng, nếu bạn không đổi tên các biến thì (như ví dụ cho thấy) thứ tự đột nhiên có vấn đề - một số chuỗi các dẫn xuất sẽ không tìm thấy mệnh đề trống. Và, một người hoạt ngôn không thể "nói" trước chuỗi dẫn xuất nào là đúng.

— Petr Pudlák

Nhưng nó không phải là trường hợp mà một phương thức hoàn chỉnh cuối cùng phải thử mọi dẫn xuất có thể (trừ khi nó tìm thấy mệnh đề trống trước)? Để chắc chắn rằng không có gì đảm bảo nó sẽ thử các dẫn xuất mà tôi đã đề cập trước những cái bạn đã đề cập, nhưng khi những cái bạn đề cập không thành công vì thiếu các biến khác biệt, những cái tôi đã đề cập vẫn mở và một phương pháp hoàn chỉnh phải quay lại và thử những người sớm hay muộn?

— rwallace

Phụ lục của bạn liên quan đến ý nghĩa của các mệnh đề trong bản tóm tắt có ý nghĩa, nhưng đối với tôi, nếu nó là như vậy thì nên tìm một trường hợp thử nghiệm, một cái gì đó tôi có thể đưa vào một câu tục ngữ và khiến nó trả lời sai nếu tính năng biến khác biệt bị vô hiệu hóa. Tôi chỉ không thể tìm thấy một trường hợp thử nghiệm như vậy cho đến nay.

— rwallace

@rwallace Tại sao bạn muốn làm điều đó? Độ phân giải là một phương pháp hoàn chỉnh và bạn biết rằng trong mọi trường hợp, chỉ cần thực hiện độ phân giải trên mỗi cặp mệnh đề một lần. Bạn đề nghị cuối cùng thử tất cả các trình tự có thể làm thế nào để tiến hành quay lui. Điều này sẽ dẫn đến sự gia tăng rất lớn về độ phức tạp của thuật toán, thậm chí không thể so sánh từ xa với việc đổi tên đơn giản ở mỗi bước.

— Petr Pudlák