Có bao nhiêu cookie trong hộp cookie? - Lát sao

Mùa lễ sắp đến tôi quyết định làm một vài ngôi sao quế . Điều đó thật thú vị (và kết quả rất tuyệt), nhưng mọt sách bên trong của tôi co rúm lại khi tôi đặt khay sao đầu tiên vào hộp và chúng sẽ không vừa trong một lớp:

Hầu hết! Có cách nào họ có thể phù hợp? Làm thế nào tốt chúng ta có thể gạch sao, anyway? Cho rằng đây là những ngôi sao sáu cánh thông thường, chúng ta chắc chắn có thể sử dụng các hình lục giác nổi tiếng như một phép tính gần đúng, như vậy:

^{Lộn xộn một cái ở phía trên bên phải, rất tiếc.}

Nhưng điều này có tối ưu không? Có rất nhiều phòng giữa các mẹo.

Đối với việc xem xét này, chúng ta hãy giới hạn bản thân trong các hộp hình chữ nhật và các ngôi sao thông thường sáu cánh, tức là có ba mươi độ (hoặc ) giữa mọi mẹo và các góc lân cận của nó. Các ngôi sao được đặc trưng bởi bán kính bên trong và bán kính ngoài :$\frac{\pi}{6}$r $r_i$$r_o$

^{[ nguồn ]}

Lưu ý rằng chúng tôi có các hình lục giác cho và hexagram cho . Tôi nghĩ thật hợp lý khi xem xét các thái cực này (đối với cookie) và giới hạn bản thân trong phạm vi ở giữa, tức là .ri=$r_i = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r_o$r$r_i = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot r_o$$\frac{r_i}{r_0} \in \Bigl[\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr]$

Cookie của tôi có và bỏ qua sự không hoàn hảo - Tôi sẽ nếm thử, không phải là hình thức một lần!r o ≈ 25 m $r_i \approx 17\mathrm{mm}$$r_o \approx 25\mathrm{mm}$

Ốp lát tối ưu cho các ngôi sao như được mô tả ở trên là gì? Nếu không có ốp lát tĩnh tốt nhất, liệu có một thuật toán để tìm ra một cái tốt một cách hiệu quả?

Hãy để tôi trả lời câu hỏi của bạn một phần cho trường hợp hexagram.

Bạn có thể thực hiện ốp lát sau

$\hskip1.2in$

Bằng cách này, bạn sẽ bao gồm 12/14 = 6/7 mặt phẳng (đếm các tam giác trong tứ giác nét đứt).

Điều này có tối ưu không? Tôi sẽ nghĩ như vậy. Mặc dù tôi không đưa ra bằng chứng nhưng tôi sẽ cung cấp một số lập luận. Người ta có thể hỏi, làm thế nào tốt chúng ta có thể lấp đầy không gian (hình tam giác) ở giữa các gai nhọn. Trong ốp lát trên, chúng tôi điền một nửa của nó. Chúng ta có thể làm tốt hơn không?

$\hskip20mm$

Có thể hai quẻ sẽ giao nhau trong không gian này, nhưng sau đó chúng chiếm rất ít diện tích của nó (không có bằng chứng). Nếu chỉ có một quẻ giao nhau, tôi giả sử rằng đầu của nó chạm vào góc lõm của các quẻ khác như được mô tả trong hình. Nếu đây không phải là trường hợp chúng ta có thể cải thiện bằng cách di chuyển các quẻ giao nhau đến góc này (một lần nữa không có bằng chứng ở đây). Theo các giả định này, không khó để thấy rằng trường hợp có tiếp xúc giữa hai bên tối đa hóa giao lộ. Nếu bạn làm toán, thì bạn sẽ thấy rằng diện tích của giao điểm bằng

Cốt truyện của chức năng này trông như thế này và cho thấy trực giác của chúng ta đã đúng.

$\hskip30mm$

những điều sau đây không được đưa ra như một cuộc tấn công dứt khoát hoặc cụ thể / vượt trội đối với vấn đề phức tạp có thể bất ngờ này mà là các góc độ khoa học / lý thuyết / nghiên cứu chung chưa được đề cập cho đến nay.

Khu vực chung ^thứ 1 này được biết đến / được phân loại là "thùng đóng gói" và đây là trường hợp 2d. có một số bằng chứng nổi tiếng từ toán học có liên quan, ví dụ như trường hợp 3d của Keplers về việc đóng gói hình cầu là một vấn đề mở trong nhiều thế kỷ và "gần đây" đã được Hales giải quyết bằng chứng minh máy tính. một ví dụ 2d được sử dụng hàng ngày trong công nghiệp là để tối ưu hóa bố trí chip. rõ ràng điều này khác với vấn đề nhưng có thể chỉ ra một số sự phức tạp của các loại vấn đề này. ví dụ, dường như không có bất kỳ lý thuyết nào yêu cầu / chỉ ra rằng trường hợp 2d sẽ đơn giản hơn trường hợp 3d. cũng lưu ý rằng một ranh giới hình chữ nhật đơn giản không nhất thiết giúp đơn giản hóa giải pháp khác hơn là nói, một ranh giới đa giác.

có thể có một giải pháp phân tích nếu một số định nghĩa / sơ đồ cơ bản của "ốp lát thông thường" được đưa ra trong báo cáo vấn đề, chẳng hạn như vị trí trên lưới, v.v ... trong đó phương trình tính toán có thể có được và có thể tìm thấy tối ưu.

các điều kiện của vấn đề (có thể trái ngược) dường như không dẫn đến một giải pháp tối ưu phân tích. điều này có thể gây ngạc nhiên cho một số nhưng những vấn đề rất giống nhau của việc xếp máy bay được biết là không thể giải quyết được (đây là một kết quả nổi tiếng nhiều năm trước và có nhiều tài liệu tham khảo và thậm chí là nghiên cứu đang diễn ra). một sự khác biệt chính giữa các vấn đề có thể quyết định (có thể giải quyết / phân tích) và không thể giải quyết được là liệu ốp lát có "thường xuyên" hay không. vấn đề ở trên đề cập đến "các ngôi sao thông thường" nhưng không đề cập đến "ốp lát thông thường". câu trả lời hiện tại khác giả định một loại ốp lát thông thường hoặc đặt hàng, nhưng lưu ý rằng ngay cả việc xác định "ốp lát thông thường" có thể rất khó khăn về mặt hình thức / toán học.

các vấn đề như thế này thường khá phù hợp với các thuật toán di truyền . một thuật toán như vậy có thể tìm thấy các gói "rất tốt" không có khả năng được cải thiện nhiều, và có lẽ một số giới hạn có thể được đặt trên sự tối ưu của chúng thông qua các phương pháp rất khéo léo (nghĩa là phải nằm trong một tỷ lệ lỗi nhỏ tối ưu), nhưng không thể chứng minh được là tối ưu.

Dưới đây là một số ref được tìm thấy thường được áp dụng trực tiếp:

• ví dụ sử dụng thuật toán di truyền. Về thuật toán di truyền cho việc đóng gói đa giác / Jacobs

• Các thuật toán cho các vấn đề đóng gói và mở rộng hình học Luận án tiến sĩ / Michael Formann 1992, 92p, giây 3.6 Các đối tượng x-monotone hình ngôi sao hình thang p30

• GEOMETRIC BIN ĐÓNG GÓI ALGORITHM CHO SHAPES ARBITRARY / ARFATH PASHA 2003 Luận văn tốt nghiệp 87p

• câu hỏi stackexchange này cũng gần. đóng gói đa giác tùy ý trong một ranh giới tùy ý . nó là cho ranh giới tùy ý

Trong khi vấn đề đặc biệt này có lẽ chưa được nghiên cứu, những câu hỏi như vậy đã được Laszlo Fejes Toth đặt ra và được gọi là vấn đề đóng gói. Tôi đặc biệt giới thiệu chương thứ ba của cuốn sách Pach-Agarwal .