Bảng chữ cái vô hạn Turing Machine

Máy Turing có được phép đọc và viết ký hiệu từ bảng chữ cái vô hạn mạnh hơn TM thông thường không (đó là điểm khác biệt duy nhất, máy vẫn có số lượng trạng thái hữu hạn)?

Trực giác nói với tôi là không, vì bạn cần vô số trạng thái để phân biệt từng biểu tượng. Vì vậy, tôi nghĩ rằng một số biểu tượng hoặc chuyển tiếp gây ra bởi các biểu tượng (hoặc một số tập hợp con của quá trình chuyển đổi) phải tương đương nhau. Vì vậy, bạn thực sự có thể mô phỏng máy như vậy với một TM thông thường và một tập hợp con giới hạn của các biểu tượng hoặc chuyển tiếp như vậy.

Làm thế nào tôi có thể tiếp cận một bằng chứng chính thức về điều này?

Không, nó sẽ mạnh hơn. Hàm chuyển đổi sẽ không còn hữu hạn nữa và điều đó sẽ mua cho bạn rất nhiều năng lượng.

Với bảng chữ cái vô hạn, bạn có thể mã hóa bất kỳ mục đầu vào nào từ một bộ vô hạn trong một ký hiệu (mặc dù bộ đầu vào không thể "vô hạn" hơn bộ bảng chữ cái, ví dụ: bảng chữ cái có lẽ chỉ là vô hạn, vì vậy các yếu tố không thể đếm được các bộ như số thực không thể được biểu diễn trong một ký hiệu). Và tương tự cho đầu ra.

Vì vậy, bạn có thể tạo một bảng chữ cái vô hạn hai trạng thái (một chữ cái đầu tiên, một chấp nhận) với một chuyển đổi duy nhất chuyển sang trạng thái chấp nhận và thay đổi biểu tượng dưới đầu băng theo chức năng bạn đang cố gắng tính toán. Công thức này sẽ cho phép bạn tính toán bất kỳ ánh xạ nào giữa các bộ có thể được đặt trong một tương ứng một-một với bảng chữ cái.

Vì vậy, để tránh loại máy thoái hóa đó là câu trả lời cho mọi thứ, bạn cần hạn chế chức năng chuyển đổi có thể làm gì. Một điều hiển nhiên là sẽ yêu cầu chính chức năng chuyển đổi phải có thể tính toán được (tất cả các chức năng chuyển đổi của TM thông thường đều có thể tính toán được, vì chúng là hữu hạn). Nhưng sau đó, bạn sẽ cố gắng sử dụng các hàm tính toán để xác định mô hình các hàm tính toán của mình.

Câu trả lời trên là chính xác, nhưng có một chút nữa có thể nói về bảng chữ cái vô hạn và khả năng tính toán.

Máy Turing được mô tả trong WP là trong đó tất cả các bộ là hữu hạn. Do đó, chức năng chuyển đổi là nhất thiết phải hữu hạn.$M = (Q, \Gamma,b,\Sigma,\delta, q_0, q_f)$

$$\delta: Q / F \times \Gamma \rightarrow Q \times\Gamma \times \{L,R \}$$

Trong một máy chữ cái vô hạn, chúng tôi sẽ thay thế bảng chữ cái đầu vào bằng cách nói và do đó, bảng chữ cái băng của và chức năng chuyển đổi bằng tuân theo:$\Sigma$$\Sigma^{inf}$$\Gamma^{inf}$$\delta^{inf}$

$$\delta^{inf}: Q / F \times \Gamma^{inf} \rightarrow Q \times\Gamma^{inf} \times \{L,R \}$$

Vì vậy, nhất thiết phải là một hàm vô hạn. Như đã nhận xét nếu chức năng này là không thể tính toán được, thì ở trên không thể biểu diễn chính xác. Chúng ta hãy giả sử rằng chúng ta sẽ giữ đệ quy (một phần) nếu có thể. Câu hỏi là liệu bảng chữ cái sẽ luôn cho phép điều này.$\delta^{inf}$$\delta^{inf}$

Vấn đề cơ bản là một bảng chữ cái hữu hạn được trình bày toàn bộ (vì vậy chúng ta có thể chọn định nghĩa các hàm theo cách đệ quy), nhưng một bảng chữ cái vô hạn không bao giờ có thể được trình bày toàn bộ. Vậy cơ chế nào đang tạo ra bảng chữ cái?

Cách đơn giản nhất để xem xét điều này là tưởng tượng rằng có một bảng chữ cái "lõi" hữu hạn, giả sử . Sau đó tạo ngôn ngữ . Giả sử rằng chuỗi abaab . Sau đó, xác định . Vì vậy, bảng chữ cái vô hạn bao gồm các chuỗi từ nối vào một biểu tượng duy nhất như .$A=\{a,b\}$$L \subset A^*$ $\in L$$\alpha = <abaab> \in \Gamma^{inf}$$L$$<abaab>$

Bảng chữ cái đơn giản nhất về cơ bản là <1 *> , ngôn ngữ thông thường trong đó bất kỳ hai biểu tượng nào được phân biệt bằng cách đếm số nét dọc trong mỗi biểu tượng. Điều này sẽ được tính toán với trình phân tích cú pháp trạng thái hữu hạn (mặc dù là LBA chứ không phải là Tự động hữu hạn). Turing lập luận cho một bảng chữ cái hữu hạn để tránh bất kỳ sự xuất hiện của một hoạt động không hữu hạn trong một hoạt động TM. Tuy nhiên, điều đáng chú ý là 26 chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh không tuân theo kiểu đếm này: chữ z không chứa 26 nét hoặc dấu chấm hoặc bất cứ thứ gì. Vì vậy, mô hình khác có thể xảy ra với các mô hình tính toán chung nhất mà dựa trên một cách đệ quy đếm được (tái) ngôn ngữ .$L$

Tuy nhiên, vấn đề ở đây là việc xây dựng sẽ không thể thực hiện được trừ khi định nghĩa về được cung cấp rõ ràng. Điều này một phần là do sự tương đương của các bộ re là không thể giải quyết được và một phần vì nếu không chúng ta chỉ có một mẫu hữu hạn để làm việc và không thể suy ra từ đó. Nếu chúng ta có định nghĩa về (và do đó ) thì nếu được đệ quy trong thì được đệ quy trong hữu hạn A, và vì vậy hoàn toàn đệ quy và có thể được đệ quy.$\delta^{inf}$$L$$L$$L$$\Gamma^{inf}$$f$$\Gamma^{inf}$$f$$f$$\delta^{inf}$

Cuối cùng, chúng tôi xem xét trường hợp không tái với hai ví dụ:$L$

Ví dụ1 . iff có thể phân kỳ rõ ràng. Trong trường hợp này, bảng chữ cái rõ ràng sẽ không có mô tả hữu hạn - thay vào đó, nó sẽ "phát triển" theo thời gian (và chỉ được xác định đầy đủ trong một số giới hạn tính toán). Nhưng sau đó, nó là một bảng chữ cái vô hạn không thể được trình bày cùng một lúc trong mọi trường hợp. Vì vậy, nếu được đệ quy trong , thì f nằm trong - bộ . Vì vậy, không thể được đệ quy. ϕ n ( n ) Γ i n f f Γ i n f Δ 0 2 δ i n $<n>\in \Gamma^{inf}$$\phi_{n}(n)$$\Gamma^{inf}$$f$$\Gamma^{inf}$$\Delta_2^0$$\delta^{inf}$

Ví dụ2 . Một ví dụ hình học hơn xem xét gạch giống như Penrose . Đặt ký hiệu nếu là một đơn vị của N gạch định kỳ có thể chứng minh được mặt phẳng. Bảng chữ cái này là vô hạn vì người ta có thể xây dựng, cho bất kỳ N, một đơn vị gạch N của gạch Penrose. Tuy nhiên, việc tự ốp lát máy bay là không thể xác định được, vì vậy tập hợp S sẽ phát triển khi nhiều gạch như thế này được phát hiện. Một đệ quy có thể có trong nhưng không hoàn toàn đệ quy có thể là f (S) = số ô trong S. S f Γ i n $S\in\Gamma^{inf}$$S$$f$$\Gamma^{inf}$