Là

Giả sử là một vấn đề quyết định có thể quyết định.$\Pi$

Liệu bao hàm Π là N P -Hard?$\Pi\not \in NP$$\Pi$$NP$

Chỉnh sửa: nếu chúng ta giả sử có tồn tại sau đó chúng tôi đã làm xong. Chúng ta có thể bác bỏ yêu cầu mà không có bất kỳ giả định nào không?$\Pi\in coNP\setminus NP$

Nếu bạn giả sử rằng thì bất kỳ vấn đề hoàn thành coNP nào cũng đưa ra một ví dụ. Tôi đoán rằng người ta có thể bác bỏ phỏng đoán của bạn vô điều kiện.$\mathsf{NP}\neq\mathsf{coNP}$

Nếu thì$P=NP$

$\Pi \not\in NP$
$\implies$
và Π không phải là ngôn ngữ rỗng hay đầy đủ các ngôn ngữ $P=NP$$\Pi$
$\implies$
là N P -Hard.$\Pi$$NP$

Đặt biểu thị kết quả của việc đặt số 1 đứng đầu vào phần cuối có ý nghĩa nhất của s và sau đó phân tích kết quả dưới dạng một số nguyên trong nhị phân.$\operatorname{int}(s)$$s$

$P\neq NP$ $S$$\{0,1\}^*$$\operatorname{NTIME}$$\left(2^{O\left(2^n\right)}\right)$
$\{111 \ldots [2^{\operatorname{int}(n)} \text{ of them}] \ldots 111 : n\in S\}$$S$$S$Giảm bớt vì đối với bất kỳ ràng buộc đa thức nào, chỉ có nhiều khả năng đa thức cho tập hợp con của ngôn ngữ đó bao gồm các yếu tố phù hợp với độ dài giới hạn, vì vậy người ta có thể thử giảm tìm kiếm theo quyết định với từng yếu tố.

Tính đầy đủ cho một lớp có nghĩa là nó là phổ quát cho lớp, tức là các vấn đề khác trong lớp có thể được giải quyết bằng cách sử dụng nó. Nếu có một vấn đề khó khăn trong một lớp thì tất cả các vấn đề phổ quát cho lớp cũng sẽ khó khăn. Nhưng điều ngược lại không giữ được: khó khăn không bao hàm tính phổ quát. Ví dụ, thực tế là một vấn đề không thể được giải quyết trong thời gian không xác định đa thức không có nghĩa là nó hoàn thành NP (tức là phổ quát cho NP).

Đối với NP: nếu P = NP, tất cả các vấn đề ngoại trừ những vấn đề nhỏ sẽ được hoàn thành cho NP (theo mức giảm Karp). Vì vậy, giả sử P là tập con đúng của NP (hoặc thay vào đó sử dụng khái niệm giảm yếu hơn như AC0).

Hãy xem xét một ngôn ngữ đơn nguyên nằm ngoài NP. (Đây là một bài tập dễ dàng để chỉ ra rằng có các ngôn ngữ đơn nhất có độ khó tùy ý.) Ngôn ngữ không thể hoàn thành cho NP theo định lý của Mahoney.