Nhóm đẳng cấu với đồ thị đẳng cấu

Khi đọc một số blog về độ phức tạp tính toán (ví dụ ở đây ), tôi đã đồng hóa khái niệm rằng việc quyết định nếu hai nhóm là đẳng cấu thì dễ hơn so với kiểm tra hai biểu đồ cho đẳng cấu. Ví dụ, trên trang đã nêu, nó nói rằng đẳng cấu đồ thị là một vấn đề tổng quát hơn so với đẳng cấu nhóm.

Do đó tôi đang đặt ra những điều sau đây

Cho một nhóm ai đó có thể đưa ra một cấu trúc của đồ thị Γ ( G ) có kích thước đa thức trong | G | mà Γ ( G ) ≅ Γ ( H $G$$\Gamma(G)$$|G|$ cho nhóm G và H

$$\Gamma(G) \cong \Gamma(H) \iff G \cong H$$ $G$$H?$

Việc giảm được mô tả trong một bài báo cổ điển của Miller.

Không quá nhanh. Có một sự mơ hồ lớn ẩn giấu ở đây:

Làm thế nào để bạn nhập nhóm của bạn để tính toán?

Không giống như biểu đồ, các nhóm có thể là đầu vào có nghĩa là khác nhau nhiều về kích thước đầu vào và độ phức tạp dẫn đến. Phiên bản được trích dẫn trong Miller là một trong những điều ít tự nhiên nhất và ví dụ bạn sẽ không thấy rằng trong một hệ thống đại số máy tính như GAP, Magma hoặc Sage. Vì vậy, trong khi nó có một tiền đề lý thuyết, nó sẽ đi quá xa để gọi đó là giải quyết vấn đề.

1. Người tạo và quan hệ: Sự đẳng cấu nhóm là không thể giải quyết được (sự đẳng cấu của đồ thị là có thể quyết định).

$G$$G=1$

Đối với các nhóm đầu vào bởi các máy phát và quan hệ: đẳng cấu nhóm khó hơn so với đẳng cấu đồ thị, trên thực tế là không thể giải quyết được.

2. Các đầu vào được sử dụng bởi các hệ thống phần mềm: nhóm đẳng cấu của hoán vị và các nhóm ma trận ít nhất cũng cứng như đẳng cấu đồ thị (không phải là cách khác).

$p$

Đối với đầu vào nhóm cho các hệ thống phần mềm: đẳng cấu nhóm ít nhất là cứng như đẳng cấu đồ thị.

3. Đầu vào độ phức tạp lý thuyết: Đối với đầu vào nhóm hộp đen, đẳng cấu nhóm không được biết là ở NP hoặc co-NP (biểu đồ đẳng cấu ở cả hai).

$\Sigma^2$$f:G\to H$$G$$H$$f$là một đồng cấu hợp lệ. Tối thiểu bạn dường như cần một bài thuyết trình về các nhóm, và điều đó không dễ dàng có được.

Đối với các nhóm hộp đen: đẳng cấu nhóm ít nhất là cứng như đẳng cấu đồ thị.

4. Đầu vào bảng Cayley.

Thỉnh thoảng trong Tarjan năm 1970, Pultr-Hederlon, Miller và những người khác quan sát thấy rằng các nhóm đầu vào bởi toàn bộ bảng nhân của họ cũng có thể được coi là biểu đồ. Theo cách này, đẳng cấu nhóm không giảm thành biểu đồ đẳng cấu trong thời gian đa thức. Miller đã đi xa hơn với việc quan sát rằng nhiều cấu trúc tổ hợp cũng làm như vậy, ví dụ như bộ ba Steiner. Ông cũng chứng minh rằng đẳng cấu nửa nhóm tương đương với đẳng cấu đồ thị.

$n^{O(\log n)}$

Đối với các bảng Cayley: đẳng cấu nhóm giảm xuống thành đẳng cấu đồ thị.

$n$$O((\log n)^3)$

$n$$O(n^2 \log n)$