Tại sao toán tử sao Kleene còn được gọi là toán tử Kleene 'clos'?

Tôi đã thấy rằng nếu tôi không hiểu từ nguyên đằng sau thuật ngữ lập trình / cs, điều đó thường có nghĩa là tôi đã bỏ lỡ hoặc hiểu sai một số khái niệm cơ bản quan trọng.

Tôi không hiểu tại sao ngôi sao Kleene còn được gọi là đóng cửa Kleene. Có liên quan đến việc đóng trong lập trình, một hàm với các biến không cục bộ ràng buộc không?

... Về sự phản chiếu, có thể là vì nó cho phép một tập kết thúc mở được viết dưới dạng biểu thức đóng?

... cũng trong thời trang giải thích vịt cao su tốt , bây giờ tôi đoán là vậy, nhưng vẫn sẽ chào đón một câu trả lời có thẩm quyền.

Một tập hợp được đóng dưới một số toán tử nếu kết quả của việc áp dụng toán tử cho các thứ trong tập hợp luôn nằm trong tập hợp. Ví dụ, các số tự nhiên được đóng dưới phép cộng bởi vì, bất cứ khi nào $n$ và $m$ là số tự nhiên, $n+m$ là số tự nhiên. Mặt khác, các naturals không bị đóng dưới phép trừ vì, ví dụ, $3-5$ không phải là số tự nhiên.

Tập đóng của tập dưới toán tử nào đó là tập nhỏ nhất chứa S được đóng dưới toán tử. Ví dụ, việc đóng các số tự nhiên dưới phép trừ là các số nguyên; việc đóng các số tự nhiên được thêm vào chỉ là các số tự nhiên, vì tập hợp đã được đóng.$S$$S$

Vì vậy, "Đóng cửa Kleene" không phải là một tên thay thế cho "Ngôi sao Kleene". Ngôi sao Kleene là nhà điều hành; đóng Kleene của một tập hợp là đóng của tập hợp đó dưới toán tử.

Tóm lại

Tên đóng cửa Kleene rõ ràng có nghĩa là đóng cửa dưới một số hoạt động chuỗi.

Tuy nhiên, phân tích cẩn thận (nhờ nhận xét quan trọng của OP mallardz), cho thấy ngôi sao Kleene không thể bị đóng dưới sự ghép, tương ứng với toán tử Kleene plus.

Toán tử sao Kleene thực sự tương ứng với một bao đóng dưới hoạt động điện có nguồn gốc từ ghép.

Cái tên Kleene star xuất phát từ cách biểu diễn cú pháp của phép toán với một ngôi sao *, trong khi đóng là những gì nó làm.

Điều này được giải thích thêm dưới đây.
Hãy nhớ lại rằng đóng cửa nói chung và ngôi sao Kleene nói riêng, là một hoạt động trên các tập hợp, ở đây trên các chuỗi, tức là trên các ngôn ngữ. Điều này sẽ được sử dụng trong giải thích.

Đóng một tập hợp con trong một hoạt động luôn được xác định

Một tập hợp được đóng theo một số n -ary hoạt động f khi và chỉ khi f luôn luôn được xác định đối với bất kỳ n -tuple các đối số trong C và C = { f ( c 1 , ... , c n ) | ∀ c 1 , ... , c n ∈ C } .$C$$n$$f$$f$$n$$C$$C=\{f(c_1,\ldots,c_n)\mid \forall c_1,\ldots,c_n \in C\}$

Bằng cách mở rộng để bộ giá trị theo cách thông thường, tức là f ( S 1 , ... , S n ) = { f ( s 1 , ... , s n ) | ∀ s i ∈ S i . 1 ≤ i ≤ n } chúng ta có thể viết lại điều kiện dưới dạng phương trình đã đặt: C = f ( C , Lôi , C $f$

Đối với một tên miền (hoặc bộ) với một hoạt động e rằng luôn luôn xác định trên D , và một tập S ⊂ D , Việc đóng cửa S dưới f là nhỏ nhất bộ S f chứa S thỏa mãn phương trình: S f = { f ( s 1 , ... , s n ) | ∀ s 1 , ... , s n ∈ s f } .$D$$f$$D$$S\subset D$$S$$f$$S_f$$S$$S_f=\{f(s_1,\ldots,s_n)\mid \forall s_1,\ldots,s_n \in S_f\}$

Nghiêm trọng hơn với một phương trình đã đặt, việc đóng theo f có thể được xác định bởi:$S$$f$

Đây là một ví dụ về định nghĩa điểm cố định ít nhất, thường được sử dụng trong ngữ nghĩa và cũng được sử dụng trong các ngôn ngữ chính thức. Một ngữ pháp không ngữ cảnh có thể được xem như là một hệ thống các phương trình ngôn ngữ (tức là phương trình tập hợp chuỗi), trong đó không phải là đầu cuối cho các biến ngôn ngữ. Giải pháp điểm cố định ít nhất liên kết một ngôn ngữ với từng biến và ngôn ngữ được liên kết với ký hiệu intial là ngôn ngữ được xác định bởi ngữ pháp CF.

Mở rộng khái niệm

Việc đóng như được định nghĩa ở trên chỉ nhằm mục đích mở rộng một tập hợp con thành một tập hợp tối thiểu S f sao cho thao tác f luôn được xác định.$S$$S_f$$f$

Như nhận xét của mallardz OP, đây không phải là một lời giải thích đầy đủ, vì nó sẽ không bao gồm các từ rỗng trong S f khi nó không phải là đã có trong S . Thật vậy, sự đóng cửa này tương ứng với định nghĩa của Kleene plus và không phải với ngôi sao Kleene .$\epsilon$$S_f$$S$+*

Trên thực tế, ý tưởng đóng cửa có thể được mở rộng, hoặc xem xét theo những cách khác nhau.

1. Mở rộng cho các tính chất đại số khác

   Về cách mở rộng nó (mặc dù nó không còn được gọi là đóng ) xem xét chung hơn là một phần mở rộng cho tập có các thuộc tính đại số cụ thể đối với phép toán f .$S_f$$f$

   Nếu bạn xác định là tập nhỏ nhất chứa S đó là một monoid cho hàm nhị phân f , sau đó bạn yêu cầu cả hai đóng cửa và một yếu tố trung lập mà là từ rỗng ε .$S_f$$S$$f$$\epsilon$

2. Mở rộng thông qua một hoạt động dẫn xuất

   Có một cách thứ hai đúng hơn là vấn đề đóng cửa. Khi bạn xác định việc đóng , bạn có thể xem xét nó đối với một số đối số, trong khi bạn cho phép các giá trị từ toàn bộ D cho các đối số khác.$S\subset D$$D$

   Xét (vì đơn giản) một hàm nhị phân trên D , bạn có thể xác định S f , 1 là tập nhỏ nhất chứa S thỏa mãn phương trình: S f , 1 = { f ( s 1 , s 2 ) | ∀ s 1 ∈ S f , 1 ∧ ∀ s 2 ∈ D $f$$D$$S_{f,1}$$S$

   $$S_{f,1}=\{f(s_1,s_2)\mid \forall s_1\in S_{f,1}\wedge\forall s_2\in D\}$$

   hoặc với các phương trình thiết lập:

   $$S_{f,1} \text{ is the smallest set such that } S\subset S_{f,1} \text{ and } S_{f,1}=f(S_{f,1},D)$$

   Điều này cũng có ý nghĩa khi các đối số không thuộc cùng một tập hợp. Sau đó, bạn có thể đóng đối với một số đối số trong một bộ, trong khi xem xét tất cả các giá trị có thể cho các đối số khác (có thể có nhiều biến thể).

   $(M,f,\epsilon)$ $-$$-$$f$$M$$\epsilon$$u\in M$

   $$\forall u\in M.\; u^0=\epsilon\; \text{ and }\; \forall n\in\mathbb N\; u^n=f(u,u^{n-1})$$

   $u^n$$M$$\mathbb N_0$

   $M$$n$$U^n=\{u^n\mid u\in U\}$$u^n$$f$

   $$\left\{ \begin{array}{l} U^0=\{u^0\mid u\in U\}=\{\epsilon\}\\ \forall n\in\mathbb N,\; U^n=f(U,U^{n-1}) \end{array} \right.$$ $f$$M$

   $U_{\wedge,1}$$U\subset M$

   $$U_{\wedge,1} \text{ is the smallest set such that } U\subset U_{\wedge,1} \text{ and } U_{\wedge,1}=f(U_{\wedge,1},\mathbb N_0)$$

   Và điều này cho chúng ta hoạt động của ngôi sao Kleene khi việc xây dựng được áp dụng cho hoạt động nối của chuỗi Monoid miễn phí.

   Thành thật mà nói, tôi không chắc là tôi đã không lừa dối. Nhưng một định nghĩa chỉ là những gì bạn tạo ra nó, và đó là cách duy nhất tôi tìm thấy để thực sự biến ngôi sao Kleene thành một sự đóng cửa. Tôi có thể đang cố gắng quá sức.
   _{Bình luận được chào đón.}

Đóng một tập hợp dưới một hoạt động không phải lúc nào cũng được xác định

Đây là một quan điểm hơi khác và sử dụng khái niệm đóng cửa. Quan điểm này không thực sự trả lời câu hỏi, nhưng có vẻ tốt để ghi nhớ nó để tránh một số nhầm lẫn có thể.

$f$$D$

• $D$$f$

• $D'$$D$$f'$

• $D$$D'$$f$$f'$

$D'$$f'$$D$$f$

Đó là cách các số nguyên được xây dựng từ các số tự nhiên, xem xét tập hợp các cặp số tự nhiên được xác định bằng một mối quan hệ tương đương (hai cặp tương đương với hai phần tử theo cùng một thứ tự và có cùng một sự khác biệt).

Đây cũng là cách hợp lý có thể được xây dựng từ các số nguyên.

Và đây là cách thực tế cổ điển có thể được xây dựng từ các lý do, mặc dù việc xây dựng phức tạp hơn.

$\ast\colon X \to X$$X$

1. $x \leq x^\ast$
2. $x \leq y \longrightarrow x^\ast \leq y^\ast$
3. $(x^\ast)^\ast = x^\ast$

$\bot^* = \bot$$(x \lor y)^* = x^* \lor y^*$

$X=2^{\Sigma^*}$$x,y \subseteq \Sigma^*$$x \leq y$$x \subseteq y$

1. $L \subseteq L^\ast$
2. $L_1 \subseteq L_2 \longrightarrow L_1^* \subseteq L_2^*$
3. $(L^*)^* = L^*$

Toán tử Kleene plus cũng thỏa mãn các tiên đề này, do đó cũng là toán tử đóng theo định nghĩa này.