Lạc vào một buổi hòa nhạc của người hướng một

Bạn và một người bạn đã lạc mất nhau trong một buổi hòa nhạc, và cả hai đều không chắc chắn về phía trước. Chính thức, mỗi cái đều ở một số tọa độ nguyên và chỉ có thể đi về phía tọa độ cao hơn hoặc giữ nguyên vị trí.

Giả sử bạn và bạn của bạn đang theo cùng một thuật toán chính xác (và không, bạn có thể không nói "if (name ==" R B ") làm gì đó :)) và khoảng cách ban đầu giữa hai bạn là $x$ (không phải là được biết đến với bạn).

Thuật toán giảm thiểu khoảng cách đi bộ dự kiến cho đến khi bạn và bạn của bạn gặp nhau là gì?

Bạn có thể cho rằng cả bạn bè và bản thân bạn đều di chuyển với tốc độ không đổi.

Một ví dụ thuật toán đơn giản sẽ là một cái gì đó như:

Ở giai đoạn $n$ (bắt đầu từ $0$ ):

Đi bộ $3^n$ bước sang phải wp $\frac{1}{2}$ hoặc chờ $3^n$ đơn vị thời gian khác.

Để xem thuật toán này làm cho bạn bè gặp xác suất 1 hãy xem xét những gì xảy ra ở giai đoạn $(\log_3 x+1)$ . Thậm chí nếu người bạn đó là $x$ bước về phía trước luôn đi và người kia luôn ở lại tại chỗ, khoảng cách giữa hai sẽ là:

x + 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{\log_{3} x} = 2 x + \frac{x - 1}{2} \leq 3 x

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

Do đó, ở lần lặp , người bạn chọn đi bộ sẽ bao gồm khoảng cách , do đó có xác suất $\log_3 x+1$ $3^{\log_3 x+1}=3x$ , người bạn đứng đằng sau sẽ bắt kịp và họ sẽ gặp nhau. $\frac{1}{4}$

Một tối ưu hóa đơn giản (để giảm khoảng cách đi bộ) sẽ là, thay vì đi bộ bước, đi bộ bước, trong đó được đưa ra bởi: $3^x$ $c^x$ $c$

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

Do đó tối ưu cho thuật toán này là $c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

Thật không may, trong khi thuật toán này đảm bảo rằng bạn bè sẽ gặp xác suất 1, khoảng cách đi bộ dự kiến là vô hạn, đó là điều tôi muốn tránh nếu có thể.

Có một thuật toán hiệu quả hơn?

algorithms randomized-algorithms

— RB
nguồn

Khi bạn nói "khoảng cách đi bộ dự kiến" - bạn có nghĩa là trong trường hợp xấu nhất, trong đó thuật toán có xác suất hoặc bạn cũng giả sử một số phân phối trên các đầu vào? Ngoài ra - bạn có yêu cầu thuật toán của bạn luôn luôn đúng hay phải đúng wp 1 không? (hoặc ít hơn?) - lưu ý rằng thuật toán bạn trình bày ở đây có thể không bao giờ dừng lại (nhưng wp 0)

— Shaull

Điều này tương tự như vấn đề tìm kiếm tuyến tính ( en.wikipedia.org/wiki/Linear_search_probols ).

— Yuval Filmus

@Shaull - vì cả hai người bạn đều theo cùng một thuật toán, nên nó phải có xác suất hoặc họ sẽ không bao giờ gặp nhau. Sự mong đợi là trên sự ngẫu nhiên của thuật toán.

— RB

Trong thuật toán của bạn, bạn có nghĩa là đi bộ

đơn vị thời gian sang phải với tốc độ

không đổi? Đi bộ

bước có thể không nói chuyện 2 ^ n thời gian.

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

— 奇 ARCHY SHUou

@ 0a-archy - chúng tôi giả sử rằng cả hai đều di chuyển với cùng tốc độ (hãy để nó là 1

cho vấn đề này). Ý tưởng trong thuật toán tôi đưa ra là bạn có thể đi bộ

bước hoặc chờ thời gian tương đương, vì vậy mỗi lần lặp lại bắt đầu cùng một lúc cho cả hai người chơi.

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

— RB

Ở bước , vẽ một số ngẫu nhiên đồng đều giữa , và . $k$ $q$ $1$ $2$ $3$

nếu , đi bộ , đợi , đi bộ $q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

nếu , đợi , đi , đợi , đi , đợi $q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

nếu , đợi , đi , đợi $q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

$k$ $2^k$ $k < \log_2(x) + 1$ $k >= \log_2(x) + 1$ $1/3$

Do đó khoảng cách đi bộ dự kiến là (giới hạn ở trên):

2 (\sum_{k = 0}^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ \log_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

$2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$

$d$ $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ $d$

— David Durrman
nguồn