Là ngôn ngữ này được xác định bằng cách sử dụng số nguyên tố sinh đôi thường xuyên?

19

Để cho

$\qquad L = \{a^n \mid \exists_{p \geq n}\ p\,,\ p+2 \text{ are prime}\}.$

Là thường xuyên? $L$

Câu hỏi này thoạt nhìn có vẻ nghi ngờ và tôi đã nhận ra rằng nó được kết nối với phỏng đoán nguyên tố sinh đôi . Vấn đề của tôi là phỏng đoán chưa được giải quyết, vì vậy tôi không chắc làm thế nào tôi có thể tiến hành quyết định rằng ngôn ngữ là thường xuyên.

— Daniil
nguồn

Lưu ý rằng nếu

sau đó

là một thương:

(hoặc, nó là tập hợp các tiền tố của

). Nói chung, đối với bất kỳ ngôn ngữ unary

ngôn ngữ

là thông thường.

P = {a^{p} : p, p + 2 \in P}

$P=\{a^p:p,p+2\in\mathbb{P}\}$

L

$L$

L = P / a^{*}

$L=P/a^{\ast}$

P

$P$

P

$P$

P / a^{*}

$P/a^{\ast}$

— sdcvvc

Một biến thể gây cười là

. Đây là thường xuyên nếu phỏng đoán nguyên tố sinh đôi là sai.

L = {a^{p} : p and p + 2 are prime}

$L = \{ a^p : p \text{ and } p+2 \text{ are prime} \}$

— Yuval Filmus

17

Nếu sinh đôi phỏng đoán nguyên tố là đúng, sau đó , đó là thường xuyên. Nếu phỏng đoán nguyên tố sinh đôi là không đúng, thì có rất nhiều số nguyên tố sinh đôi; thật vậy, có một cặp số nguyên tố sinh đôi lớn nhất . Trong trường hợp này, , một ngôn ngữ hữu hạn. Trong cả hai trường hợp, bạn có được một ngôn ngữ thông thường, vì vậy tôi nghĩ sẽ an toàn khi kết luận rằng là ngôn ngữ thông thường ... chúng ta sẽ không biết đó là ngôn ngữ nào cho đến khi phỏng đoán nguyên tố sinh đôi được giải quyết. $L = a^{*}$ $\{p, p + 2\}$ $L = \{a^{n} | n < p + 1\}$ $L$

— Patrick87
nguồn

<đã làm quá nhiều logic trực giác> Có thể phỏng đoán nguyên tố sinh đôi là không thể giải quyết được?

— Gilles 'SO- ngừng trở thành ác quỷ'

@Gilles Có thực sự là thuật ngữ chính xác ở đây? Có vô số số nguyên tố sinh đôi hoặc không có.

— Zach Langley

@ZachLangley Không nhất thiết: phỏng đoán nguyên tố sinh đôi (TP) có thể là không thể giải quyết được (theo nghĩa độc lập với các tiên đề toán học thông thường) . Nhưng nhận xét của tôi là một trò đùa (không thể có được nếu bạn không biết logic trực giác là gì; thực tế, từ TP TP hay không phải TP, chúng ta có thể suy ra rằng

là hữu hạn hoặc

là

, vì vậy

dù sao cũng là thường xuyên.

L

$L$

L

$L$

L = a^{*}

$L=a^*$

L

$L$

— Gilles 'SO- ngừng trở thành ác quỷ'

11

Vâng, ngôn ngữ này là thường xuyên. Phỏng đoán nguyên tố sinh đôi không cần phải được giải quyết để thấy điều này:

Giả sử các giả thuyết thủ song sinh là đúng, có nghĩa là, đối với bất kỳ , chúng ta có thể tìm thấy một số nguyên tố mà là số nguyên tố. Sau đó, đặc biệt, , vì điều kiện luôn luôn đúng. Ngôn ngữ cuối cùng này thể diễn tả được bằng và vì thế thường xuyên. $n$ $p \geq n$ $p+2$ $L = \{ a^n | n \in N \}$ $a^*$

Giả sử phỏng đoán nguyên tố sinh đôi là sai. Sau đó tồn tại một số sao cho tồn tại một số nguyên tố sao cho là số nguyên tố và với mọi , không tồn tại sao cho là số nguyên tố. Trong trường hợp này, , là một ngôn ngữ hữu hạn, và do đó thường xuyên. $N$ $p$ $p+2$ $n > N$ $p$ $p+2$ $L = \{ a^n | n \leq N \}$

Bằng cách phân biệt trường hợp, chúng tôi kết luận rằng là thường xuyên. $L$

— Alex mười Brink
nguồn

9

Nó là thường xuyên trong cả hai trường hợp.

Nếu có vô hạn số nguyên tố sinh đôi, sau đó . $L=\{a^n:n\geq 0\}=L(a^*)$
Nếu có nhiều số nguyên tố sinh đôi, thì là hữu hạn, do đó thường xuyên. $L$

— Janoma
nguồn