Bí quyết của việc thêm một số lượng lớn vào việc giảm bớt từ 3-phân vùng là gì?

Vấn đề: Để chứng minh$\textsf{NP-Completeness}$về vấn đề "Đóng gói hình vuông (với chiều dài cạnh khác nhau) thành hình chữ nhật" ,$\textsf{3-Partition}$ được giảm xuống, như thể hiện trong hình dưới đây.

bên trong $\textsf{3-Partition}$ ví dụ, có $n$ yếu tố $(a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_n)$. Tổng mục tiêu$t$ Là $t = \frac{\sum a_i}{n/3}$.

Trong giảm $B$là một số lượng lớn (không đổi) và mỗi$a_i$ được đại diện bởi một $(B + a_i) \times (B + a_i)$Quảng trường. Khoảng trống trong hình chữ nhật sẽ được điền theo đơn vị ($1 \times 1$) hình vuông.

Câu hỏi: Tôi không hiểu lắm về thủ thuật "thêm một số lượng lớn$B$"trong phần giảm. Tôi đoán nó được sử dụng để buộc rằng bất kỳ sơ đồ đóng gói nào cũng sẽ đưa ra giải pháp cho $\textsf{3-Partition}$. Nhưng bằng cách nào?

Câu hỏi 1: Bí quyết "thêm một số lượng lớn" để giảm từ $\textsf{3-Partition}$? Cụ thể, tại sao việc giảm này hoạt động? Tại sao thủ thuật này lại cần thiết, tức là tại sao việc giảm giá sẽ không hiệu quả nếu chúng ta bỏ qua$B$ (bộ $B=0$)?

Tôi đã cố gắng xác định lỗ hổng của bằng chứng "bất kỳ bao bì nào cũng cho phân vùng 3" nhưng không thể có được điểm chính.

Trên thực tế tôi cũng đã thấy giảm khác từ $\textsf{3-Partition}$mà cũng dùng thủ thuật này. Vì thế,

Câu hỏi 2: Mục đích chung của thủ thuật "thêm một số lượng lớn" này là gì trong việc cắt giảm từ $\textsf{3-Partition}$( nếu có )?

Lưu ý: Vấn đề này là từ bài giảng video (từ 01:15:15) của Giáo sư Erik Demaine. Trước tiên tôi nên kiểm tra tờ giấy gốc "Đóng gói hình vuông thành hình vuông" . Tuy nhiên, nó không thể truy cập được trên Internet. Nếu bạn có một bản sao và muốn chia sẻ, bạn có thể tìm thấy hộp thư của tôi trong hồ sơ của tôi. Cảm ơn trước.

Lớn $B$ ở đây để đảm bảo rằng các hình vuông theo mô hình được hiển thị trong hình.

Trong phần "tồn tại một bao bì $\Rightarrow$ tồn tại 3 phân vùng ". Bạn cần thể hiện các bộ ba số nguyên với tổng $=t$. Điều này thật dễ dàng nếu các ô vuông mã hóa trong bao bì được sắp xếp 3 nhân 3 như trong hình, nhưng làm thế nào để bạn biết đây là trường hợp? Ví dụ, với các hình vuông màu xanh nhỏ hơn một chút, bạn có thể có hai hình vuông nhỏ cạnh nhau trong cùng một cột và sau đó bạn sẽ gặp rắc rối.

Một cách để sử dụng thủ thuật của $B$ không đổi là để nói rằng không thể có bất kỳ đường ngang nào vượt quá hơn $n/3$ hình vuông (một dòng như vậy có chiều dài $(B+t)\frac n3$, một hình vuông có kích thước ít nhất $B$và $B > t\frac n3$). Vì vậy, mỗi đường ngang gặp một hình vuông thứ nhất, hình vuông thứ 2, v.v., và sau đó bạn có thể hiển thị (một lần nữa bằng cách sử dụng lớn$B$), rằng $i$tất cả các ô vuông của mỗi dòng phải gặp nhau trong cùng một cột. Khi bạn đã có được điều này, sau đó bạn nhận được một phân vùng 3.

Về Câu hỏi 2, rõ ràng rất khó để đưa ra câu trả lời chính thức, nhưng mẫu chung là như sau: với 3 phân vùng, bạn cần đưa ra một số loại độ chùng để cho phép bất kỳ số nguyên nào trong một khoảng $[min,max]$có thể được mã hóa bằng cách nào đó và được nhúng vào một khe (sau đó phải tương ứng với kích thước tối đa có thể). Nhưng sau đó, một vấn đề phổ biến là có hai số nguyên khớp trong cùng một vị trí, hoặc nói chung là các vấn đề chồng chéo khác (như với các hình vuông ở đây). Điều này được giải quyết bằng cách đảm bảo rằng$min$ là đủ lớn so với kích thước khe (chúng ta thường cần $min > max/2$, hoặc là $min > max*(n-1)/(n)$ ở đây): điều này dễ dàng đạt được với hằng số phụ gia $B$.

Chỉnh sửa ví dụ mẫu trong đó$B$ là cần thiết: Đặt trường hợp của 3 phân vùng là $(10,7,2,10,9,2)$ với $t=20$. Đây là một ví dụ. Tuy nhiên, với$B=0$, bạn có một bao bì hợp lệ của $40\times 20$ hình chữ nhật: sử dụng một cột đầu tiên với bốn hình vuông $(10,7,2,2)$, hai cái cuối cùng nằm cạnh nhau và một cột thứ hai chỉ có $(10,9)$. Điều này là không thể với, nói,$B=100$và một $240 \times 320$ hình chữ nhật.