Cấu trúc cắt XOR và thiết kế kết hợp

Cho một đồ thị và một tập hợp con của các đỉnh , xác định = tập các cạnh nối một đỉnh tại với một đỉnh tại .$G(V,E)$$T \subseteq V$$\mathsf{cutset}(T)$$T$$V\setminus T$

Mục tiêu của chúng tôi là tiền xử lý sao cho, với bất kỳ tập , chúng tôi có thể nhanh chóng trả về một cạnh trong hoặc trả lời rằng trống. Cấu trúc phải có độ phức tạp không gian , tức là chúng ta không được phép giữ tất cả các cạnh. Độ phức tạp của truy vấn phải là .$G$$T$$\mathsf{cutset}(T)$$\mathsf{cutset}(T)$$\widetilde{O}(|V|)$$\widetilde{O}(|T|)$

Kapron et al đề xuất giải pháp gọn gàng sau đây, hoạt động khi kích thước của mỗi bộ cắt tối đa là 1.

Cho mỗi cạnh một số duy nhất. Đối với mỗi đỉnh , giữ - XOR nhị phân của các số của tất cả các cạnh liền kề với nó. Đưa ra một truy vấn trên , tính toán - XOR nhị phân của tất cả các đỉnh trong T. Mọi cạnh nằm bên trong (nghĩa là có cả hai điểm cuối bên trong ) được XOR hai lần và do đó không được bao gồm trong . Vì vậy, thực sự là một XOR của tất cả các cạnh trong .$v$$\mathsf{xor}(v)$$T$$\mathsf{xor}(T)$$T$$T$$\mathsf{xor}(T)$$\mathsf{xor}(T)$$\mathsf{cutset}(T)$

Nếu kích thước của mỗi cutset nhiều nhất là 1, thì có hai tùy chọn: , có nghĩa là trống hoặc \ mathsf {xor} ( T) là số cạnh đơn trong \ mathsf {cutset} (T) .$\mathsf{xor}(T)=0$$\mathsf{cutset}(T)$$\mathsf{xor}(T)$$\mathsf{cutset}(T)$

Sau đó, các tác giả tiếp tục và mô tả một cấu trúc ngẫu nhiên, phức tạp để xử lý trường hợp trong đó $\mathsf{cutset}(T)$ chứa nhiều hơn một cạnh.

Nhưng trong kết luận, họ nói rằng:

Không khó để thấy rằng kỹ thuật được mô tả ở đây có thể được xác định bằng một yếu tố \ widetilde {O} (k) bổ sung $\widetilde{O}(k)$trong thời gian cập nhật, nếu chúng ta biết các vết cắt có kích thước không lớn hơn $k$ , thông qua việc sử dụng tổ hợp thiết kế ".

Thật không may, đối với tôi điều này có vẻ khó khăn ... Tôi không hiểu: làm thế nào các thiết kế kết hợp có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề khi kích thước của tất cả các cutets nhiều nhất là ?$k$

Bạn có thể sử dụng mã tuyến tính với khoảng cách $2k$hoặc là. Ma trận kiểm tra chẵn lẻ của mã có thuộc tính XOR của bất kỳ tập hợp nào nhiều nhất$2k-1$cột không khác không. Điều này có nghĩa là, đặc biệt, đã đưa ra XOR nhiều nhất$k$ các cột, bạn có thể xác định (không nhất thiết phải hiệu quả) có bao nhiêu cột được XOR (vì nếu bạn không thể có được một bộ nhiều nhất $2k-1$các cột mà XOR bằng không). Chi phí của mã hóa này là số lượng hàng của ma trận kiểm tra chẵn lẻ. Nếu bạn chọn các tham số chính xác và mã có thể giải mã hiệu quả (nhớ lại rằng ma trận kiểm tra chẵn lẻ của mã là ma trận trình tạo kép của nó), thì bạn có thể có được kết luận được nêu trong nhận xét.