Độ cứng của tối đa hóa bậc hai bị ràng buộc

Hãy xem xét tối đa hóa bậc hai sau đây:

\begin{aligned} max_{x \in X} & x^{T} A x \end{aligned}

$\begin{align} \max_{\mathbf{x} \in \mathcal{X}} &\quad\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x} \end{align}$ với trong đó

là một ma trận bán nguyệt dương và

là một tham số thưa thớt. Vấn đề này là NP-hard, bằng cách giảm từ vấn đề max-clique.

\begin{aligned} X = {x \in R^{n} : ‖ x ‖_{2} = 1, ‖ x ‖_{0} \leq k}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{X} = \lbrace \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} :~ \|\mathbf{x}\|_{2}=1, \|\mathbf{x}\|_{0}\le k \rbrace, \end{align}$

A

$\mathbf{A}$

k \leq n

$k \le n$

Tôi quan tâm đến một vấn đề tương tự có được bằng cách áp đặt cấu trúc bổ sung trên $\mathcal{X}$ . Cụ thể, giả sử rằng $n$ biến trong $\mathbf{x}$ được phân vùng thành $k$ nhóm rời rạc. Chúng tôi giới hạn tập hợp khả thi ở các vectơ có độ dài đơn vị $\mathbf{x}$ với một biến hoạt động cho mỗi nhóm. Nghĩa là, $\mathcal{X}$ lại chứa các vectơ $k$ thưa, nhưng sự hỗ trợ không thể tùy ý; nó chứa (nhiều nhất) một mục nhập khác cho mỗi nhóm $k$ .

Lưu ý rằng tập hợp khả thi trong bài toán đã sửa đổi là tập hợp con của tối đa hóa trước đó, nhưng số lượng hỗ trợ khả thi vẫn có thể theo cấp số nhân trong số lượng biến $n$ (đối với được chọn một cách thích hợp $k$ ).

Tôi nghi ngờ rằng vấn đề sửa đổi cũng là NP-hard. Bất kỳ ý tưởng về cách thể hiện điều đó (hoặc từ chối)? Hãy chia sẻ trực giác của bạn.

complexity-theory optimization np-hard

— megas
nguồn

Nếu không có yêu cầu về độ chính xác, thì đây phải là NP-hard bằng cách giảm từ tập độc lập. Nói là đồ thị có đỉnh. Xây dựng một thể hiện của vấn đề của bạn với biến và nhóm, một nhóm mỗi đỉnh của . Đặt biến đầu tiên trong nhóm của thành 1 giống như thêm vào tập độc lập; thiết lập biến thứ 2 giống như không thêm vào tập hợp. Bây giờ bạn có thể tạo một ma trận làm giảm thiểu số cạnh sao cho cả nằm trong tập hợp. Nhưng sẽ này

G

$G$

N

$N$

2 N

$2N$

N

$N$

v

$v$

G

$G$

v

$v$

v

$v$

v

$v$

A

$A$

(v, w) \in E

$(v,w) \in E$

v, w

$v,w$

A

$A$ được bán chính xác? Tôi không biết.

— DW

@DW, bạn có thể sử dụng laplacian của ma trận kề không? luôn luôn là semidefinite tích cực.

L

$L$

— Nicholas Mancuso

@NicholasMancuso, tôi không biết! Ý tưởng thú vị.

— DW

Nếu vấn đề duy nhất là đối số không phải là semidefinite dương (PSD) ( chỉ là đối xứng), thì nó sẽ ổn: chúng ta luôn có thể giải quyết tối đa hóa trên . Tôi sẽ xem xét phương pháp đề xuất và cho bạn biết!

A

$\mathbf{A}$

A

$\mathbf{A}$

A + | λ_{m i n} (A) | \cdot I

$\mathbf{A}+|\lambda_{min}(\mathbf{A})| \cdot \mathbf{I}$

— megas

Tôi gặp một số khó khăn khi xem cách điều chỉnh phương pháp này cho vấn đề của mình. Đối với tôi, không phải là nhị phân; nó là một vectơ thực đơn chuẩn, cũng được phép có các mục âm, điều này gây ra một số khó khăn trong việc thiết kế . Trừ khi, tôi thiếu một cái gì đó rõ ràng? Nhưng tôi đã thích ý tưởng về các biến . Tôi sẽ tiếp tục suy nghĩ liệu tôi có thể tìm ra thứ gì đó dựa trên nó không.

x

$\mathbf{x}$

A

$\mathbf{A}$

2 N

$2N$

— megas

(Tôi đã tìm thấy câu trả lời cho câu hỏi của mình, vì vậy tôi đang chia sẻ một bản phác thảo ở đây) .

Tối đa hóa bậc hai có thể được hiển thị là NP-hard bằng cách giảm từ vấn đề sau:

Cho đồ thị -partite , có chứa -clique không. $k$ $G=(V_{1}, \dots, V_{k}, E)$ $G$ $k$

Lưu ý rằng vấn đề thứ hai là một trường hợp đặc biệt (dường như) của vấn đề cực đại giới hạn trong một họ đồ thị cụ thể. Tuy nhiên, có thể thấy rằng nó cũng hoàn thành NP bằng cách giảm từ chính vấn đề max-clique chung (Xem tại đây) .

Hãy biểu thị ma trận kề của . Đặt là một tập hợp các đỉnh tùy ý và biểu thị hàm con chính tương ứng với , tức là là hằng số của đồ thị do tạo ra . Nếu các đỉnh trong tạo thành một -clique trong , thì tất cả các mục ngoài đường chéo của đều bằng và eigenvalue chính . Trong mọi trường hợp khác, đó là, nếu $\mathbf{A}$ $G$ $S$ $k$ $\mathbf{A}_{S}$ $S$ $\mathbf{A}_{S}$ $k\times k$ $S$ $S$ $k$ $G$ $\mathbf{A}_{S}$ $1$ $\lambda_{1}(\mathbf{A}_{S}) = k-1$ $S$ không phải là -clique, sau đó . Cuối cùng, lưu ý rằng vì là -partite, một -clique (nếu tồn tại) sẽ chứa một đỉnh duy nhất từ mỗi bộ , . $k$ $\lambda_{1}(\mathbf{A}_{S}) < k-1$ $G$ $k$ $k$ $V_{i}$ $i=1,\dots,k$

Hãy , trong đó là giá trị riêng nhỏ nhất của ; là ma trận PSD. Hơn nữa, xem xét nhóm rời nhau của các biến tương ứng với bộ của . Chúng tôi giải quyết tối đa hóa bậc hai với đầu vào và các nhóm biến được chỉ định. Giá trị mục tiêu tối đa sẽ bằngnếu và chỉ khi chứa một -clique. $\mathbf{A}^{\prime} = \mathbf{A} + |\lambda_{n}(\mathbf{A})|\cdot\mathbf{I}$ $\lambda_{n}(\mathbf{A})$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{\prime}$ $k$ $V_{1}, \dots, V_{k}$ $G$ $\mathbf{A}^{\prime}$ $k-1 + |\lambda_{n}(\mathbf{A})|$ $G$ $k$

— megas
nguồn