Ý nghĩa của định lý Rice

Mỗi lần tôi nghĩ rằng tôi hiểu định lý của Rice nghĩa là gì, tôi lại tìm thấy một ví dụ để làm tôi bối rối. Có lẽ ai đó có thể cho tôi biết tôi đang nghĩ sai ở đâu.

Hãy lấy một số thuộc tính không tầm thường của tập hợp các hàm tính toán, ví dụ: hãy để . Rõ ràng, là đếm được vô hạn và cũng có một số đếm được vô hạn của các chức năng tính toán không trong L .$L = \{ f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \;|\; \text{f is a computable and total function} \}$$L$$L$

Bây giờ, hãy xem xét một ngôn ngữ lập trình hoàn chỉnh đầy đủ qua một tập lệnh hữu hạn $\Sigma$ và tập hợp các chương trình đúng về mặt cú pháp $P \subseteq \Sigma^*$ , với $|P| = |\mathbb{N}|$. Nếu tôi có thể chọn ngữ nghĩa của ngôn ngữ của mình theo ý muốn, tôi cũng có thể đánh số các chương trình theo ý muốn và do đó có thể thiết kế một ngôn ngữ lập trình trong đó một số tập hợp con của chương trình tính toán chính xác một số tập hợp con tùy ý của các hàm tính toán, như miễn là phù hợp với cardinality. Ví dụ: hãy để $P_{pal} = \{ w \in \Sigma^* \;|\; w\text{ is a palindrome} \}$ và mỗi chương trình $p \in P_{pal}$ tính tổng một hàm. Vì $|P_{pal}| = |L|$, một ngôn ngữ như vậy nên tồn tại.

Tuy nhiên, $isPalindrome(w)$ rõ ràng là có thể tính toán được và vì $isPalindrome(w) \iff isTotal(w)$ , do đó, chúng tôi sẽ có một chương trình quyết định tính chất không tầm thường $L$ , không thể thực hiện được theo định lý của Rice.

Đâu là lỗi trong suy luận của tôi? Điều này có nghĩa là không có ngôn ngữ lập trình trong đó mỗi chương trình palindromic (hay đúng hơn là bất kỳ cấu trúc tính toán nào ) sẽ tính toán chính xác tổng số hàm (hay đúng hơn là bất kỳ tập hợp các hàm tính toán nào)? Điều này thực sự làm tôi bối rối.

Điều bạn quên là tất cả các ánh xạ bạn sử dụng phải được tính toán. Khi bạn tuyên bố rằng các số chính phù hợp đảm bảo sự tồn tại của ánh xạ, điều đó có thể đúng, nhưng ánh xạ khó có thể tính toán được, chính xác bởi vì điều đó sẽ cho phép bạn có một mâu thuẫn với định lý Rice. Trong khả năng tính toán (ít nhất là đối với những gì tôi biết về nó), mọi thứ đều hữu hạn hoặc vô hạn. Vì vậy, sự tồn tại của ánh xạ thường không phải là một vấn đề. Vấn đề là nó có tính toán được không.

Nói cách khác, chắc chắn có một ánh xạ (thực tế là rất nhiều) có liên quan chính xác các từ palindromic với tổng số các hàm tính toán. Nhưng, với một palindrom , mà ánh xạ liên kết với hàm , không có cách nào bạn thực sự có thể sử dụng ánh xạ như vậy để có được kết quả của việc áp dụng cho một số đối số. Bản đồ của bạn không cung cấp cho bạn bất kỳ cách nào để xác định chức năng hoặc tính toán với nó. Ngôn ngữ của bạn có ngữ nghĩa không tính toán.$w$$f_w$$f_w$

Tôi cũng có thể đánh số các chương trình theo ý muốn và do đó, có thể thiết kế một ngôn ngữ lập trình trong đó một số tập hợp con của chương trình tính toán chính xác một số tập hợp con tùy ý của các hàm tính toán, miễn là khớp chính xác.

Đối với một số bộ chức năng, hoạt động; không cho người khác . Nhưng một ngôn ngữ lập trình mới là một số mới của một số chương trình, và đó không phải là định lý của Rice nói về.

Đối với mục đích của định lý Rice, chúng tôi chỉ xem xét liệt kê của Godel về tất cả các hàm đệ quy một phần, và sau đó nó chỉ nêu điều gì đó về các bộ chỉ số , đó là tập hợp tất cả các chỉ số trong bảng liệt kê các hàm trong tập đã cho.

Điều đó không bao gồm tất cả các bộ chỉ số; và điều đó tốt, bởi vì chắc chắn có rất nhiều thuộc tính có thể quyết định của các chương trình. Xem thêm tại đây .

Không phải mọi phép liệt kê chương trình đều "chấp nhận được", vì không phải phép liệt kê nào cũng cho phép bạn tính toán hiệu quả chức năng liên quan đến chương trình từ chỉ mục của chương trình. Nói cách khác, bạn sẽ không có máy vạn năng (thuộc tính utm). Thuộc tính thứ hai thường được yêu cầu để "chấp nhận" phép liệt kê là thuộc tính smn: bạn cần có khả năng tính toán chỉ số của các phiên bản chương trình một cách thống nhất và hiệu quả.

Có thể chứng minh (định lý tương đương của Rogers) rằng bất kỳ cặp liệt kê nào được sử dụng utm và smn đều là đẳng cấu đệ quy, nghĩa là bạn có một cách hiệu quả để dịch các chương trình đặt ra hai cách liệt kê. Điều này làm cho lý thuyết của bạn liệt kê độc lập.

Điều này đã đủ để nhấn mạnh sự liên quan của utm và smn, hai định lý cơ bản của phương pháp "trừu tượng" đối với khả năng tính toán.

Định lý Rogers được trình bày dưới dạng một bài tập (sic!) Trong cuốn sách Lý thuyết về các hàm đệ quy và khả năng tính toán hiệu quả (bài tập 2-10, trang 41). Nhưng bằng chứng thực sự không khó lắm.

Tôi tìm thấy bài báo thú vị này của Udi Boker và Nachum Dershowitz, người giải quyết vấn đề mà tôi gặp phải, trong số những thứ khác. Trong phần giới thiệu, họ tuyên bố rằng (nhấn mạnh của tôi)

Người ta có ý nghĩa gì khi nói rằng có thể tính toán được? Một khả năng nhất có nghĩa là một máy Turing , sao cho tính , sử dụng một số chuỗi đại diện của miền . Nhưng các đại diện chuỗi được phép là gì? Rõ ràng, việc cho phép một đại diện tùy ý (bất kỳ phép tiêm nào từ đến ) đều có vấn đề - nó sẽ khiến bất kỳ chức năng quyết định nào cũng có thể tính toán được. Ví dụ: bằng cách hoán vị miền của mã máy, chức năng tạm dừng có thể biến thành chức năng tương đương đơn giản [...]$f$$M$$M$$f$ $D$$D$$\Sigma^*$

và xa hơn

Một cách tiếp cận khác là chỉ cho phép các đại diện có thể sử dụng một cách tự nhiên. Tuy nhiên, trong bối cảnh xác định khả năng tính toán, người ta có nghĩa vụ phải sử dụng một khái niệm mơ hồ và không xác định về tính tự nhiên, hay của tính hiệu quả, do đó đánh bại mục đích đặc trưng của tính toán.

trong đó giải thích những gì babou gọi là "ngữ nghĩa tính toán". Bài viết cũng chứa trích dẫn này của Michael Rescorla:

Tôi sẽ đề xuất rằng các phân tích khái niệm có chủ đích liên quan đến luận điểm của Church tạo ra một vòng tròn tinh tế nhưng không thể tóm tắt: chúng mô tả khái niệm trực quan về khả năng tính toán bằng cách gọi khái niệm trực quan về khả năng tính toán [...] Chúng tôi đưa ra cú pháp với ngữ nghĩa nguyên thủy. Tôi gửi rằng [...] chúng ta phải yêu cầu rằng mối tương quan ngữ nghĩa giữa các thực thể cú pháp và các thực thể phi cú pháp phải được tính toán. Nhưng sau đó, phân tích đề xuất không chiếu sáng khả năng tính toán không tuần hoàn.

Vì vậy, theo các tác giả, định nghĩa chính thức phổ biến của hàm tính toán dựa vào trực giác không chính thức về khả năng tính toán có nghĩa là gì, điều này giải thích điều gì làm tôi bối rối về việc đánh số gödel.