Có thể tìm thấy một nhân chứng là NP-hard ngay cả khi chúng ta đã biết có một nhân chứng?

10

Các ví dụ phổ biến về các vấn đề NP-hard (clique, 3-SAT, đỉnh đỉnh, v.v.) thuộc loại mà chúng ta không biết câu trả lời là "có" hay "không" trước đó.

Giả sử rằng chúng ta có một vấn đề trong đó chúng ta biết câu trả lời là có, hơn nữa chúng ta có thể xác minh một nhân chứng trong thời gian đa thức.

Sau đó chúng ta có thể luôn luôn tìm thấy một nhân chứng trong thời gian đa thức không? Hay "vấn đề tìm kiếm" này có thể là NP-hard?

complexity-theory np-hard search-problem

— mba
nguồn

1

Nó không giống. Có thể là PPAD-cứng mặc dù.

— RB

Tôi không biết liệu đây có phải là trùng hợp hay không, nhưng blogpost này đã được đăng ngày hôm nay: ... một lời nhắc nhở rằng tổng số vấn đề tìm kiếm không phải là NP hoàn chỉnh .

— Pål GD

6

TFNP là lớp các hàm đa trị với các giá trị được xác minh đa thức và được đảm bảo tồn tại.

Tồn tại một vấn đề trong TFNP là FNP-đầy đủ khi và chỉ khi NP = co-NP, xem Định lý 2.1 trong:

Nimrod Megiddo và Christos H. Papadimitriou. 1991. Về tổng số hàm, định lý tồn tại và độ phức tạp tính toán. Lý thuyết. Tính toán. Khoa học. 81, 2 (tháng 4 năm 1991), 317-324. DOI: 10.1016 / 0304-3975 (91) 90200-L

và các tài liệu tham khảo [6] và [11] trong. PDF có sẵn ở đây .

— La Mã
nguồn

2

Không, bạn không thể luôn luôn tìm thấy một giải pháp trong thời gian đa thức, ngay cả khi bạn biết có một giải pháp.

Theo Khanna, Linial và Safra [1] (xem đoạn 3), nó đã xuất phát từ tác phẩm kinh điển năm 1972 của Karp rằng tô màu cho đồ thị 3 màu với 3 màu là NP-hard. (Công việc của họ mở rộng điều này để cho thấy rằng đồ thị 4 màu 3 màu vẫn là NP-hard).

Lưu ý rằng điều này không mâu thuẫn với câu trả lời của Rahul Savani . Điều này là do đối với tất cả các quan hệ nhị phân trong FNP, chúng ta phải có thể xác minh trong thời gian đa thức nếu nằm trong mối quan hệ. Cho rằng việc quyết định xem đồ thị 3 màu có 3 màu có phải là NP hoàn chỉnh hay không, không có khả năng tìm thấy 4 màu trong đồ thị 3 màu trong FNP vì chúng tôi không thể xác minh tính hợp lệ của đầu vào trong thời gian đa thức . Do đó, không có mâu thuẫn với kết quả Megiddo-Papadimitriou. $P$ $P(x,y)$ $x$

[1] Khanna, Sanjeev, Nathan Linial và Shmuel Safra. "Về độ cứng của xấp xỉ số màu." Hệ thống lý thuyết và máy tính, 1993., Kỷ yếu của Hội nghị chuyên đề Israel lần thứ 2 về. IEEE, 1993.

— Juho
nguồn

1

Nếu một mối quan hệ NP là NP-hard liên quan đến
việc giảm thời gian Turing đa thời gian không đồng nhất chỉ có câu trả lời , thì $\: NP = coNP \;$ .

Bằng chứng:

Nếu mối quan hệ NP là NP-hard liên quan đến
việc giảm thời gian Turing đa thời gian không đồng biến chỉ có câu trả lời , thì:

Hãy là một mối quan hệ khó khăn như vậy, và để cho là một đồng không xác định thời gian đa thức giảm Turing vâng-câu trả lời chỉ từ để . $R$ $M'$ $SAT$ $R$ $\:$ Đặt là thuật toán coNP được cho bởi: $M$
$\;$ Cố gắng phân tích các chứng nhận chống bị cáo buộc thành một chứng chỉ và phản hồi bên trong.
$\;$ Nếu thất bại thì xuất CÓ, người khác cố chạy trên chứng chỉ chống bên trong bằng cách cho $M'$
$\;$ phản hồi tương tự như đã được đưa ra trước đây cho các truy vấn lặp lại và sử dụng các phản hồi từ
$\;$ chứng chỉ chống (bên ngoài) cho tất cả các truy vấn tiên tri khác. $\:$ Nếu sẽ làm cho rõ ràng hơn $M'$
$\;$ truy vấn hơn số phản ứng hoặc bất kỳ truy vấn của nó sẽ không được có quan hệ để $R$
$\;$ phản hồi của truy vấn đó hoặc sẽ tạo ra CÓ, xuất ra CÓ, khác ra NO. Kể từ khi trở thành một oracle cho chỉ áp đặt điều kiện độc lập về phản ứng của oracle và là giảm vâng-câu trả lời chỉ, các cặp truy vấn-đáp ứng được sản xuất bởi và chống chứng chỉ hợp lệ luôn có thể được mở rộng đến một lời sấm cho , vì vậy giải quyết $M'$ $M$ $M$
$R$
$M'$ $M'$
$R$ $M$ $SAT\hspace{-0.02 in}$ .
Như vậy $\: SAT\in coNP \;$ .
Vì là -hard liên quan đến việc giảm thời gian đa thức xác định, $SAT$ $NP$ $\: NP\subseteq coNP \;$ .
Bằng cách đối xứng, $\: coNP \subseteq NP \;$ . $\;\;\;\;$ Như vậy $\: NP = coNP \;$ .

Do đó, nếu một mối quan hệ NP là NP-hard liên quan đến
việc giảm thời gian Turing đa thời gian không đồng nhất chỉ có câu trả lời , thì $\: NP = coNP \;$ .

1

Tôi không hiểu gì về điều này. Bạn có thể xác định một "đồng không xác định thời gian đa thức Turing giảm vâng-câu trả lời chỉ", một "anti-certificate", và cũng có thể làm rõ những gì

là chính xác ( "giảm từ R SAT" làm cho không có ý nghĩa với tôi)?

M^{'}

$M'$

— Sasho Nikolov

Một "phép giảm Turing đa thời gian đồng thời chỉ có câu trả lời duy nhất" là một cỗ máy tiên tri coNP mà nhà tiên tri của nó là gì để giảm, vì vậy nó sẽ không bao giờ truy vấn nhà tiên tri về đầu vào mà không có kích thước đa thức chuỗi truy vấn có liên quan đến bằng

.

R

$R$

$\:$ (tiếp tục ...)

$\;\;\;\;$

(... Tiếp tục)

$\:$ Chứng chỉ chống là tương tự của chứng chỉ , với CÓ và KHÔNG được hoán đổi cho nhau.

$\:$

là giảm được nhắc đến trong câu nói đó giới thiệu

.

M^{'}

$M'$

M^{'}

$M'$

$\:$ (Tôi đã sửa lỗi đánh máy ở cuối câu đó.)

$\;\;\;\;$

1

Điều này phụ thuộc một chút vào việc giải thích chính xác câu hỏi của bạn, nhưng tôi nghĩ rằng kịch bản của bạn có thể được mô tả tổng quát là một vấn đề 'tính Y', nơi đưa ra một số thuật toán phổ cố định đa thức thời gian và đa thức , trên đầu vào , sản lượng một chuỗi , sao cho xuất ra 1 và luôn tồn tại với mọi có thể . $T$ $p$ $\langle x, 1^n \rangle$ $y \in \{0,1\}^{p(n)}$ $T(x,y,1^n)$ $y$ $x$

Một câu hỏi sau đó có thể là liệu thuật toán thời gian đa thức cho 'COMPUTE Y' có ngụ ý $P = NP$

Trong trường hợp này, giả sử bạn có thể giải quyết (nói) 3SAT trong thời gian đa thức với một hằng số của các cuộc gọi đến một lời sấm rằng phá được 'tính Y', tức là một số thuật toán nơi khi và chỉ khi là satisfiable, nếu không. Lật bit đầu ra để có được , một thuật toán mà khi và chỉ khi là satisfiable và nếu $A$ $A(\phi) = 1$ $\phi$ $A(\phi)=0$ $\bar{A}$ $\bar{A}(\phi) = 0$ $\phi$ $\bar{A}(\phi) = 1$ $\phi$ là không hài lòng.

$\bar{A}$ $y$ $T$ $NP = coNP$

$NP = coNP$ $NP$ $k$ $NP$

— Joe Bebel
nguồn