Hạt nhân trong độ phức tạp tham số hóa

Bất cứ ai có thể giải thích cho tôi hạt nhân (vấn đề-) là gì và việc sử dụng chúng là gì? Các slide của tôi nói:

Hạt nhân của một vấn đề được tham số hóa là một phép biến đổi sao cho:$L$$(x,k) \mapsto (x',k')$

• $(x,k) \in L \Leftrightarrow (x',k') \in L$
• $|x'| \leq f(k)$ cho một số chức năng$f$
• $k' \leq g(k)$ cho một số chức năng$g$
• biến đổi phải được tính trong thời gian đa thức.

Câu hỏi của tôi là:

• Làm thế nào điều này được kết nối với một vấn đề được cố định tham số dễ dàng?
• Điều gì làm cho hạt nhân hữu ích?
• Định nghĩa này đến từ đâu

Ví dụ trên các trang chiếu của tôi là trang bìa đỉnh, nhưng tôi không thực sự hiểu được, vì các trang trình bày hơi ngắn.

Theo trực giác, thuật toán nhân hóa là một thuật toán trong thời gian đa thức tiền xử lý một thể hiện nhất định và đưa ra một thể hiện có kích thước được giới hạn trong tham số. Mục tiêu của nhân hóa là (ít nhất) hai lần. Chúng tôi có được các đảm bảo hiệu suất có thể chứng minh được, tức là, chúng tôi có thể chứng minh các giới hạn trên trong trường hợp đầu ra, có các ứng dụng cả trong thiết kế thuật toán và cũng như một thước đo độ phức tạp.

Chính thức hơn là một thuật toán nhân hóa (thường được gọi là kernel), là một thuật toán cho một vấn đề mà trên đầu vào xuất ra một thể hiện tương đương với cho một số chức năng . Hơn nữa, thuật toán cần phải chạy trong thời gian đa thức.$(G,k)$ $(G',k')$$\max\{|G'|,k'\} \leq f(k)$$f$

Kết quả sau đây cho thấy sức mạnh của hạt nhân, có thể nói, tương đương với sức mạnh của khả năng lưu thông số cố định ( PDF )

Định lý (Văn hóa dân gian). Một vấn đề là tham số cố định có thể điều khiển được khi và chỉ khi nó thừa nhận kernel và có thể quyết định được.

Mặc dù khái niệm hạt nhân trùng khớp với khả năng biến đổi tham số cố định, có một phiên bản nhân hóa mạnh hơn trong đó chúng ta yêu cầu hàm ở trên là một đa thức.$f$

Nếu bạn muốn xem các định nghĩa ban đầu, tôi khuyên bạn nên chọn cuốn sách của Downey và Fellows về độ phức tạp được tham số hóa, hoặc bắt đầu từ luận án Haging của Niedermeier đã đề cập ở trên. Ngoài ra còn có một bài viết Wikipedia về Kernelization .