Đo lường độ khó của các trường hợp SAT

Đưa ra một ví dụ về SAT, tôi muốn có thể ước tính mức độ khó để giải quyết trường hợp đó.

Một cách là chạy các bộ giải hiện có, nhưng loại đó đánh bại mục đích ước tính độ khó. Một cách thứ hai có thể là tìm tỷ lệ các mệnh đề cho các biến, như được thực hiện cho các pha chuyển tiếp trong SAT ngẫu nhiên, nhưng tôi chắc chắn rằng các phương pháp tốt hơn tồn tại.

Cho một ví dụ về SAT, có một số phương pháp phỏng đoán nhanh để đo lường độ khó? Điều kiện duy nhất là các heuristic này nhanh hơn thực tế chạy các bộ giải SAT hiện có trên ví dụ.

Câu hỏi liên quan

Những vấn đề SAT nào dễ? trên cstheory.SE. Câu hỏi này hỏi về bộ trường hợp dễ điều khiển. Đây là một câu hỏi tương tự, nhưng không hoàn toàn giống nhau. Tôi thực sự quan tâm đến một heuristic đưa ra một trường hợp duy nhất, đưa ra một số loại phỏng đoán bán thông minh nếu trường hợp đó sẽ là một vấn đề khó giải quyết.

Nói chung, đây là một câu hỏi nghiên cứu rất phù hợp và thú vị. "Một cách là chạy các bộ giải hiện có ..." và điều này thậm chí sẽ cho chúng ta biết chính xác điều gì? Chúng ta có thể thấy một cách thực nghiệm rằng một thể hiện có vẻ khó đối với một người giải cụ thể hoặc một thuật toán / heuristic cụ thể, nhưng nó thực sự nói gì về độ cứng của cá thể?

Một cách đã được theo đuổi là xác định các thuộc tính cấu trúc khác nhau của các trường hợp dẫn đến các thuật toán hiệu quả. Những đặc tính này thực sự được ưa thích là "dễ dàng" nhận dạng. Một ví dụ là cấu trúc liên kết của biểu đồ ràng buộc cơ bản, được đo bằng các tham số độ rộng biểu đồ khác nhau. Ví dụ, người ta biết rằng một thể hiện có thể giải được trong thời gian đa thức nếu treewidth của đồ thị ràng buộc cơ bản được giới hạn bởi một hằng số.

Một cách tiếp cận khác đã tập trung vào vai trò của cấu trúc ẩn của các thể hiện. Một ví dụ là tập hợp cửa sau , nghĩa là tập hợp các biến sao cho khi chúng được khởi tạo, vấn đề còn lại đơn giản hóa thành một lớp có thể điều khiển được. Ví dụ, Williams và cộng sự, 2003 [1] cho thấy ngay cả khi tính đến chi phí tìm kiếm các biến backlink, người ta vẫn có thể có được lợi thế tính toán tổng thể bằng cách tập trung vào một bộ cửa sau, với điều kiện là bộ này đủ nhỏ. Hơn nữa, Dilkina và cộng sự, 2007 [2] lưu ý rằng một người giải có tên Satz-Rand rất giỏi trong việc tìm kiếm các cửa hậu nhỏ mạnh trên một loạt các lĩnh vực thử nghiệm.

Gần đây, Ansotegui và cộng sự, 2008 [3] đề xuất sử dụng độ phức tạp không gian giống như cây làm thước đo cho người giải quyết dựa trên DPLL. Họ chứng minh rằng không gian giới hạn không đổi cũng ngụ ý sự tồn tại của thuật toán quyết định thời gian đa thức với không gian là mức độ của đa thức (Định lý 6 trong bài báo). Hơn nữa, chúng cho thấy không gian nhỏ hơn kích thước của các chu trình cắt. Trên thực tế, theo những giả định nhất định, không gian cũng nhỏ hơn kích thước của các cửa hậu.

Họ cũng chính thức hóa những gì tôi nghĩ bạn đang theo đuổi, đó là:

Tìm số đo và thuật toán đưa ra công thức quyết định mức độ thỏa mãn trong thời gian . Số đo càng nhỏ thì càng đặc trưng cho độ cứng của công thức .$\psi$$\Gamma$$O(n^{\psi ( \Gamma )})$

[1] Williams, Ryan, Carla P. Gomes và Bart Selman. "Backreen đến trường hợp phức tạp điển hình." Hội nghị hợp tác quốc tế về trí tuệ nhân tạo. Tập 18, 2003.

[2] Dilkina, Bistra, Carla Gomes và Ashish Sabharwal. "Sự đánh đổi trong sự phức tạp của phát hiện cửa sau." Nguyên tắc và thực hành lập trình ràng buộc (CP 2007), trang 256-270, 2007.

[3] Ansótegui, Carlos, Maria Luisa Bonet, Jordi Levy và Felip Manya. "Đo độ cứng của các trường hợp SAT." Trong Kỷ yếu của Hội nghị quốc gia về trí tuệ nhân tạo lần thứ 23 (AAAI'08), trang 222-228, 2008.

Vì bạn biết về quá trình chuyển pha, cho phép tôi đề cập đến một vài kiểm tra đơn giản khác mà tôi biết (có thể bị thay thế bởi phân tích biểu đồ ràng buộc):

• Một số trình tạo SAT ngẫu nhiên ban đầu vô tình tạo ra các công thức chủ yếu dễ dàng vì chúng đã sử dụng "mật độ không đổi", nghĩa là tỷ lệ gần bằng nhau của tất cả các độ dài mệnh đề. Chúng hầu như dễ dàng vì 2 mệnh đề và đơn vị đơn giản hóa vấn đề một cách đáng kể, như người ta mong đợi, và các mệnh đề thực sự dài hoặc không thêm nhiều nhánh hoặc tạo điều kiện cho độ phân giải siêu tốt hơn. Vì vậy, có vẻ tốt hơn để gắn với các mệnh đề có độ dài cố định và thay đổi các tham số khác.
• Tương tự, một quy tắc đơn giản hóa mạnh mẽ là Loại bỏ văn học thuần túy. Rõ ràng, một công thức thực sự chỉ khó như số lượng chữ không tinh khiết mà nó có. Bởi vì Độ phân giải tạo ra các mệnh đề mới đánh số(có nghĩa là tích của các lần xuất hiện của và phủ định của nó), số lượng độ phân giải được tối đa hóa khi có một số lượng bằng nhau các nghĩa đen âm và âm cho mỗi biến. Do đó, máy phát SAT cân bằng.$|x|*|\lnot x|$$x$
• Ngoài ra còn có một kỹ thuật gọi là "No Triangle SAT", có vẻ khá mới mẻ [1], đây là một loại máy phát điện cứng cấm "tam giác". Một tam giác là một tập hợp các mệnh đề chứa 3 biến xảy ra theo cặp trong tất cả các kết hợp trong một số mệnh đề (ví dụ: ). Rõ ràng, hình tam giác có xu hướng làm cho một công thức dễ dàng hơn cho người giải quyết được biết đến.$v_1, v_2, v_3$$\{v_1, v_2, ...\}, \{v_2, v_3, ...\}, \{v_1, v_3, ...\}$

[1] https://arxiv.org/pdf/1903.03592.pdf

Trên câu trả lời xuất sắc của Juho, đây là một cách tiếp cận khác:

Ercsey-Ravasz & Toroczkai, Tối ưu hóa độ cứng như sự hỗn loạn thoáng qua trong một cách tiếp cận tương tự để thỏa mãn ràng buộc , Vật lý tự nhiên tập 7, trang 966 Lỗi970 (2011).

Cách tiếp cận này là viết lại bài toán SAT thành một hệ thống động, trong đó bất kỳ điểm thu hút nào của hệ thống là một giải pháp cho bài toán SAT. Các lưu vực thu hút của hệ thống trở nên phức tạp hơn khi vấn đề trở nên khó khăn hơn, và do đó, "độ khó" của thể hiện SAT có thể được đo lường bằng cách kiểm tra mức độ hỗn loạn của các quá độ trước khi hệ thống hội tụ.

Trong thực tế, điều này có nghĩa là bắt đầu một loạt các người giải quyết từ các vị trí ban đầu khác nhau và kiểm tra tốc độ mà người giải quyết thoát khỏi các quá độ hỗn loạn trước khi họ đến một người thu hút.

Không khó để đưa ra một hệ thống năng động, trong đó "giải pháp" là giải pháp cho một vấn đề SAT nhất định, nhưng khó hơn một chút để đảm bảo rằng các giải pháp đó đều là những người thu hút chứ không phải người bán lại. Giải pháp của họ là giới thiệu các biến năng lượng (gần giống với số nhân Lagrange) để thể hiện mức độ nghiêm trọng của một ràng buộc đang bị vi phạm và cố gắng để hệ thống giảm thiểu năng lượng của hệ thống.

Thật thú vị, bằng cách sử dụng hệ thống động lực của họ, bạn có thể giải quyết các vấn đề SAT trong thời gian đa thức trên một máy tính tương tự, bản thân nó là một kết quả đáng chú ý. Có một cái bẫy; nó có thể yêu cầu điện áp lớn theo cấp số nhân để biểu diễn các biến năng lượng, vì vậy thật không may, bạn không thể nhận ra điều này trên phần cứng vật lý.