Chứng minh định lý Karp-Lipton

Tôi đang cố gắng tìm hiểu bằng chứng của định lý Karp-Lipton như đã nêu trong cuốn sách "Độ phức tạp tính toán: Cách tiếp cận hiện đại" (2009).

Cụ thể, cuốn sách này nêu rõ như sau:

Định lý Karp-Lipton

Nếu NP , thì PH . $\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

Proof: Bằng Định lý 5.4, để hiển thị PH , nó cũng đủ để chứng minh rằng và đặc biệt là nó cũng đủ để chứng minh rằng chứa -complete ngôn ngữ SAT. $= \Sigma^p_2$ $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma^p_2$ $\Pi^p_2$ $\Pi_2$

Định lý 5.4 nói rằng

với mọi , nếu thì PH = . Đó là, hệ thống phân cấp sụp đổ đến cấp thứ i. $i \geq 1$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p$

Tôi không hiểu làm thế nào ngụ ý . $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

Như một câu hỏi tổng quát hơn: điều này có đúng với mọi $i$ , tức là $\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$ có nghĩa là $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ cho tất cả $i \geq 1$ không?

complexity-theory complexity-classes

— Phường
nguồn

Sau một thời gian, nếu tôi nhớ chính xác, chúng tôi đã đi đến một lời giải thích mơ hồ: "Nếu

Π_{2}^{p} \subseteq Σ_{2}^{p}

$\Pi_2^p \subseteq \Sigma_2^p$ , thì chúng ta có thể chuyển đổi một công thức với các bộ lượng hóa

\forall . . . \exists

$\forall ... \exists$ thành một với bộ định lượng

\exists . . . \forall

$\exists ... \forall$ , mà chúng ta có thể sử dụng để chuyển đổi công thức từ

Σ_{3}^{p}

$\Sigma_3^p$ có dạng

\exists . . . \forall . . . \exists

$\exists ... \forall ... \exists$ thành một trong các dạng

\exists . . . \exists . . . \forall

$\exists... \exists... \forall$ , nơi đặt nó trong

Σ_{2}^{p}

$\Sigma_2^p$ , làm sụp đổ hệ thống phân cấp. Tôi không chắc chắn rằng tôi hiểu hoàn toàn đối số này.

— WardL 30/03/2015

một đề xuất / ý tưởng khác, các câu lệnh toán học chuyển đổi giữa sự bao gồm tập hợp con và đẳng thức (thừa nhận điều này là phổ biến trong lý thuyết phức tạp). Có cách nào để bám vào / stdize trên / cải cách trong cái này hay cái khác không? fyi Karp-Lipton thm / wikipedia

— vzn

Hãy nhớ lại rằng iff . Giả sử bây giờ và để . Sau đó, và do đó theo giả định, ngụ ý rằng . Nói cách khác, , và vì vậy . $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$ $L \in \Pi_i^p$ $\bar{L} \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $L \in \Sigma_i^p$ $\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$

Đây là lý do tại sao iff . Để cụ thể, chúng tôi lấy . Theo định nghĩa, nếu vì một P-time vị , Tương tự như vậy nếu vì một P-time ngữ , Tuy nhiên, hai tuyên bố này là tương đương, như một sự viện dẫn đơn giản của luật de Morgan cho thấy, cùng với thực tế là P được đóng lại dưới sự bổ sung (lấy $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $i = 3$ $L \in \Sigma_3^p$ $T$

x \in L \Leftrightarrow \exists | y | < | x |^{O (1)} \forall | z | < | x |^{O (1)} \exists | w | < | x |^{O (1)} T (x, y, z, w) .

$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$

\bar{L} \in Π_{3}^{p}

$\bar{L} \in \Pi_3^p$

S

$S$

x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall | y | < | x |^{O (1)} \exists | z | < | x |^{O (1)} \forall | w | < | x |^{O (1)} S (x, y, z, w) .

$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$

S = \neg T

$S = \lnot T$ ).

— Yuval Filmus
nguồn