Chuyển đổi DNF sang CNF: Dễ hoặc khó

Liên quan đến luồng Chứng minh rằng việc chuyển đổi từ CNF sang DNF là NP-Hard (và một luồng toán học có liên quan ):

Làm thế nào về hướng khác, từ DNF đến CNF? Nó dễ hay khó?

Trên trang 2 của bài báo này , họ dường như gợi ý rằng cả hai hướng đều khó như nhau khi họ nói " Chúng tôi quan tâm đến việc tăng kích thước tối đa khi chuyển từ đại diện CNF sang đại diện DNF (hoặc ngược lại) ".

Nhưng DNF-SAT nằm trong P và CNF-SAT là NP -complete. Vì vậy, cho một biểu thức DNF , cần có một equisatisfiable CNF biểu có chiều dài là đa thức trong chiều dài của . Và chuyển đổi có thể được thực hiện trong nhiều thời gian. Điều này có đúng không?$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$$\phi_1 \to \phi_2$

Chỉnh sửa: Thay đổi tương đương với mức độ thỏa mãn (nghĩa là các biến bổ sung được phép trong ).$\phi_2$

Nếu bạn sẵn sàng giới thiệu các biến bổ sung, bạn có thể chuyển đổi từ dạng DNF sang dạng CNF trong thời gian đa thức bằng cách sử dụng biến đổi Tseitin . Công thức CNF kết quả sẽ tương xứng với công thức DNF ban đầu: công thức CNF sẽ thỏa đáng nếu và chỉ khi công thức DNF ban đầu đạt yêu cầu. Xem thêm https://en.wikipedia.org/wiki/Conjunctive_n normal_form#Conversion_into_CNF .

Nếu bạn không muốn cho phép giới thiệu các biến bổ sung, chuyển đổi từ dạng DNF sang CNF là đồng NP-hard. Cụ thể, kiểm tra xem một công thức DNF có phải là tautology hay không là NP-hard. Tuy nhiên, việc kiểm tra xem một công thức CNF có phải là tautology hay không có thể được thực hiện trong thời gian đa thức (bạn chỉ cần kiểm tra riêng xem mỗi mệnh đề có phải là một tautology hay không, điều này rất dễ vì mỗi mệnh đề là một sự phân biệt của nghĩa đen). Do đó, nếu bạn có thể chuyển đổi từ dạng DNF sang dạng CNF trong thời gian đa thức, mà không đưa ra các biến mới, thì bạn sẽ có được thuật toán thời gian đa thức để kiểm tra xem công thức DNF có phải là tautology hay không - điều mà chúng ta mong đợi P không bằng đồng NP. Hoặc, nói cách khác, chuyển đổi từ dạng DNF sang dạng CNF mà không đưa ra các biến bổ sung là co-NP-hard.

Đây là sự khác biệt giữa tương đương vs equisatisfiability . Sự tương đương đòi hỏi hai công thức phải có cùng một bộ giải pháp (và do đó không cho phép đưa ra các biến bổ sung). Tính thỏa mãn chỉ yêu cầu cả hai công thức đều thỏa mãn hoặc cả hai đều không thỏa mãn (và do đó không cho phép đưa ra các biến bổ sung).