XOR-SAT tổng quát có thể giải quyết hiệu quả không?

12

Tôi đã thấy XOR-3-SAT có thể giải quyết một cách hiệu quả như thế nào (ví dụ, xem phần "Mức độ thỏa mãn XOR" trong mục Wikipedia về vấn đề thỏa mãn Boolean ).

Tôi đang tự hỏi một câu hỏi cơ bản: XOR-k-SAT có thể giải quyết một cách hiệu quả, cho các công thức với số lượng chữ khác nhau cho mỗi mệnh đề không?

Tôi thực sự muốn biết liệu chúng ta có thể tăng số lượng chữ cho mỗi mệnh đề vượt quá 3 hay không và liệu chúng ta có thể có độ dài mệnh đề hỗn hợp hay không.

complexity-theory satisfiability

— Matt Groff
nguồn

2

Bạn đã làm nghiên cứu gì? Chúng tôi hy vọng bạn sẽ tự mình thực hiện một nỗ lực nghiêm túc trước khi hỏi và cho chúng tôi biết trong câu hỏi bạn đã thực hiện nghiên cứu gì và bạn đã thử làm gì. Wikipedia đề cập rằng thuật toán để giải XOR-3-SAT là loại bỏ Gaussian. Bạn đã cố gắng hiểu cách thức hoạt động của nó và xem liệu nó có áp dụng cho XOR-k-SAT không?

— DW

@DW Tôi thừa nhận rằng tôi đã không làm nhiều nghiên cứu về nó. Tôi đã thấy đề cập đến việc loại bỏ Gaussian và hình dung rằng điều này sẽ hiệu quả với XOR-SAT tổng quát. Nhưng tôi đoán tôi đang tìm kiếm xác nhận. Tôi hy vọng bạn sẽ tha thứ cho sự lười biếng của tôi. Tôi sẽ cố gắng thực hiện nhiều nghiên cứu hơn trong tương lai, trước khi đặt câu hỏi như thế này.

— Matt Groff

11

Có vẻ như bài viết trên Wikipedia mà bạn đã liên kết nói rằng XORSAT (không chỉ 3-XORSAT) ở P. Phương thức mà họ đang giải quyết công thức 3-XORSAT trong ví dụ của họ rất dễ khái quát hóa các công thức trong đó các mệnh đề có thể tùy ý số lượng lớn các biến và số lượng khác nhau của các biến.

Bạn chỉ cần xem công thức là một hệ phương trình tuyến tính trong đó bạn có một phương trình cho mỗi mệnh đề và một biến cho mỗi biến. Ví dụ: công thức:

(x_{1} \oplus x_{2} \oplus \neg x_{3} \oplus x_{5}) \land (x_{2} \oplus x_{3})

$(x_1\oplus x_2\oplus\lnot x_3\oplus x_5)\land (x_2\oplus x_3)$

có một bài tập thỏa mãn khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

x_{1} + x_{2} + (1 + x_{3}) + x_{5} \equiv 1 \mod 2

$x_1+x_2+(1+x_3)+x_5\equiv 1 \mod 2$

x_{2} + x_{3} \equiv 1 \mod 2

$x_2+x_3\equiv 1 \mod 2$

Và chúng ta có thể tìm thấy các giải pháp cho các hệ phương trình tuyến tính như thế này trong thời gian đa thức bằng cách loại bỏ Gaussian!

— Dylan McKay
nguồn

6

Đúng. Nó có thể được giải quyết bằng cách loại bỏ Gaussian. Loại bỏ Gaussian có thể giải bất kỳ hệ phương trình nào là modulo tuyến tính. XOR đóng vai trò bổ sung modulo 2, do đó, mỗi mệnh đề XOR-SAT hoạt động như một phương trình tuyến tính modulo 2. Do đó, việc loại bỏ Gaussian có thể giải bất kỳ công thức XOR-k-SAT hoặc bất kỳ công thức XOR-SAT nào, ngay cả khi có số lượng chữ khác nhau mỗi mệnh đề hoặc độ dài mệnh đề hỗn hợp, trong thời gian đa thức.

— DW
nguồn