Có một quan điểm phức tạp về định lý của Galois không?

Định lý của Galois nói một cách hiệu quả rằng người ta không thể biểu thị gốc của đa thức bậc> = 5 bằng cách sử dụng các hàm hợp lý của các hệ số và gốc - không thể đọc được điều này khi nói rằng đa thức không có thuật toán xác định để tìm ra gốc?
Bây giờ hãy xem xét một câu hỏi quyết định của hình thức, "Cho một thực bắt nguồn từ đa thức $p$ và một số k là thứ ba và gốc cao thứ tư của $p$ ít nhất là ở một khoảng cách của k?"

Chứng chỉ chứng minh cho câu hỏi quyết định này sẽ chỉ là tập hợp gốc của đa thức này và đó là chứng chỉ ngắn và do đó có vẻ như $NP$ BUT không phải là định lý Galois nói rằng không tồn tại bất kỳ thuật toán xác định nào để tìm chứng chỉ cho điều này câu hỏi quyết định? (và thuộc tính này nếu đúng quy tắc bất kỳ thuật toán nào để quyết định câu trả lời cho câu hỏi này)

Vì vậy, trong lớp phức tạp nào câu hỏi quyết định này nằm trong?

Tất cả các câu hỏi NP-đầy đủ mà tôi đã thấy luôn có sẵn một thuật toán thời gian theo cấp số nhân tầm thường để giải quyết chúng. Tôi không biết liệu đây có phải là một tài sản luôn luôn đúng với tất cả các câu hỏi hoàn chỉnh NP không. Đối với câu hỏi quyết định này, điều này dường như không đúng.

complexity-theory np-complete np polynomials

— người dùng6818
nguồn

Các gốc là một chứng chỉ nhưng đối với tôi không rõ ràng rằng chúng là một chứng chỉ ngắn (nghĩa là có một hằng số

sao cho mọi đa thức, bạn có thể viết ra các gốc của nó trong các bit

, trong đó

là số lượng bit cần thiết để ghi xuống đa thức). Nhưng nếu có một thuật toán NP, thì có một thuật toán thời gian theo cấp số nhân tầm thường: chỉ cần liệt kê tất cả các chứng chỉ tiềm năng và xem liệu chúng có hoạt động không.

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n

$n$

— David Richerby

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x_{i}

$\sum_{i=0}^n a_i x_i$

max (1, \sum_{i = 0}^{n - 1} | a_{i} | / | a_{n} |)

$\max(1,\sum_{i=0}^{n-1} |a_i|/|a_n|)$

k

$k$

p (x)

$p(x)$

p (x + k)

$p(x+k)$

@YuvalFilmus Có thể sử dụng bất kỳ ý tưởng nào ở trên để quyết định câu hỏi quyết định trên không? Không rõ ràng nếu những điều này có thể được sử dụng để quyết định câu hỏi này - trong thời gian đa thức?

— dùng6818

"Định lý của Galois nói một cách hiệu quả rằng người ta không thể biểu thị gốc của đa thức bậc> = 5 bằng cách sử dụng các hàm hợp lý của các hệ số và gốc - không thể đọc được điều này khi nói rằng đa thức không có thuật toán xác định để tìm ra gốc? " Không, vì thuật toán thời gian đa thức mạnh hơn các hàm hữu tỷ. Ví dụ: họ có thể phân tách các trường hợp, lặp lại, tạo mảng và lặp qua chúng, v.v.

— sdcvvc

@ user6818 Định lý liên quan đến một mô hình tính toán cụ thể - các hàm hợp lý của các gốc. Nếu bạn thay đổi mô hình, nó không còn áp dụng. Ví dụ: theo MathWorld mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html có thể giải phương trình bậc 5 bằng các hàm Jacobi theta. Nếu bạn ổn với thuật toán trả về gốc trong vòng 0,01 (hoặc bất kỳ ) nào, định lý Galois sẽ không còn loại bỏ phương thức nữa, vì bất kỳ số nào cũng có thể được xấp xỉ bởi một tỷ lệ hợp lý.

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

— sdcvvc

Câu trả lời:

Tuy nhiên, kết nối thú vị, lý thuyết Galois nói rằng không có phương pháp (nhất quán) nào tồn tại để tìm ra các gốc của tinh túy bằng cách sử dụng các gốc tự do , thay vì nói rằng vấn đề có một giải pháp (ví dụ: một con đường dài nhất) có thể cần thời gian siêu đa thức. Vì vậy, tôi sẽ nói nó liên quan nhiều hơn đến tính không ổn định hơn là sự phức tạp.

Cụ thể, trong lý thuyết Galois, người ta dần dần xây dựng các phần mở rộng nhóm của các gốc của phương trình, theo cách từng bước (thêm một gốc tại một thời điểm). Và tất cả các nhóm này nên được giải quyết, theo một nghĩa nào đó, không nên có sự mơ hồ trong quá trình xây dựng các phần mở rộng này theo thứ tự khác. Có một câu hỏi liên quan trên MO về sự phức tạp của việc xây dựng nhóm Galois của một phương trình .

Một tài liệu tham khảo khác ở đây "LÝ THUYẾT GALOIS MÁY TÍNH: HÓA ĐƠN VÀ TÍNH TOÁN TRÊN ", CLAUS FIEKER JURGEN KLUNERS $\mathbb{Q}$

Hơn nữa, người ta có thể hệ thống đại diện cho các gốc của một euqation đa thức bằng cách sử dụng các gốc (khi phương trình có thể giải được bằng cách sử dụng các gốc) dựa trên việc xây dựng (các) nhóm Galois của phương trình. Tham khảo: "Đại diện cấp tiến của rễ đa thức", Hirokazu Anai Kazuhiro Yokoyama 2002

Độ phức tạp tính toán của việc xác định xem một đa thức monic không thể phân biệt cho các số nguyên , có thể hòa tan bởi các gốc nằm trong Ref "Khả năng hòa tan của Radicals là trong thời gian đa thức", S. Landau GL Miller 1984 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{P}$

Một cuộc khảo sát về "Kỹ thuật tính toán các nhóm Galois" gần đây, Alexander Hulpke

Tất nhiên, nếu người ta đang tìm kiếm các thuật toán xấp xỉ tốt và độ phức tạp của chúng (ví dụ: phương pháp của Newton hoặc Định lý Sturm) thì đây là một câu hỏi hơi khác và câu trả lời đã được đăng cung cấp nhiều thông tin hơn theo hướng đó.

— Nikos M
nguồn

Cảm ơn! Có vẻ như tôi đã vô tình tự hỏi mình một câu hỏi rất thú vị!

— dùng6818

@ user6818, cảm ơn câu trả lời được cập nhật với nhiều thông tin hơn và tham khảo thêm

— Nikos M.

Tôi giả sử bạn đang xem xét đa thức với các hệ số nguyên .

Bạn đã lấy điểm khởi đầu sai cho các cuộc điều tra của bạn; Mục tiêu của bạn là tìm ước tính tốt cho nguồn gốc thực sự. Tìm kiếm một công thức đại số để bạn có thể đánh giá nó đủ chính xác là điều bạn có thể làm, nhưng nó không thực sự là điều đúng đắn ở đây. (tất nhiên, trừ khi " kgốc thực sự lớn nhất của đa thức" là một trong những phép toán đại số của bạn)

Điểm khởi đầu tốt hơn nhiều là sử dụng định lý Sturm để cô lập các gốc của đa thức. Sau đó, bạn có thể tạo ước tính tốt hơn bằng cách tìm kiếm nhị phân, nhưng nếu quá chậm, bạn có thể sử dụng phương pháp của Newton để nhanh chóng tạo ra các ước tính có độ chính xác cao.

Nhưng đó chỉ là về việc tìm kiếm chứng chỉ. Vẫn còn câu hỏi về những chứng chỉ có thể tồn tại.

Trước hết, tôi sẽ chỉ ra rằng bạn có thể tính trực tiếp xem hai gốc có cách nhau chính xác đơn vị hay không, ví dụ bằng cách tính . Bạn cũng sẽ phải quyết định những gì bạn muốn làm về gốc rễ lặp đi lặp lại và giải quyết một cách thích hợp. Tôi giả sử bạn sẽ đối phó với những trường hợp đặc biệt. $k$ $\gcd(p(x), p(x-k))$

Nếu chúng ta biết hai gốc không cách nhau chính xác đơn vị, điều đó có nghĩa là bạn có thể đưa ra ước tính về độ chính xác đủ để chứng minh rằng chúng lớn hơn hoặc nhỏ hơn đơn vị. ví dụ: có hai loại chứng chỉ: $k$ $k$

Loại đầu tiên (bằng chứng trong phủ định) là

$a$ không phải là gốc của $p$
$p$ không có gốc trong $(a-k, a)$
$p$ có ba gốc trong $(a, \infty)$

Loại thứ hai (bằng chứng tích cực) là

$a$ không phải là gốc của $p$
$p$ có ít nhất hai gốc trong $(a-k,a)$
$p$ có hai gốc trong $(a, \infty)$

Một chứng chỉ có thể được xác minh bằng cách sử dụng định lý Sturm. Bây giờ, câu hỏi của bạn về kích thước của một chứng chỉ tập trung vào việc tìm kiếm bao nhiêu bit chính xác mà bạn cần để thể hiện . $a$

Nói cách khác, các giới hạn về các giá trị có thể có của , trong đó là gốc của ? $a-b-k$ $a,b$ $f$

Tôi không chắc chắn về một cách tiếp cận tuyệt vời, nhưng một cách nên cung cấp cho bạn một cái gì đó là quan sát rằng tất cả các giá trị này là gốc của đa thức:

g (x) = {Res}_{y} (f (y), f (x + y + k))

$g(x) = \mathop{\text{Res}_y}(f(y), f(x + y + k))$

Tại sao? Hãy nhớ lại rằng kết quả của hai đa thức monic là sản phẩm của tất cả các khác biệt về gốc rễ của chúng, vì vậy

g (x) = c^{d^{2}} \prod_{a, b} (b - (a - x - k)) = \prod_{a, b} (x - (a - b - k))

$g(x) = c^{d^2} \prod_{a,b}(b - (a - x - k)) = \prod_{a,b} (x - (a-b-k))$

Trong đó là hệ số dẫn đầu và là mức độ của . (có lẽ tôi đã viết công thức cho thay vì ; tôi không bao giờ chắc chắn về dấu hiệu này) $c$ $d$ $f$ $-g(x)$ $g(x)$

Vì vậy, câu hỏi là tìm các ước tính cho các hệ số có thể lớn đến mức nào , và sau đó khi bạn biết điều đó, hãy tìm các ước tính về mức độ gần của một gốc có thể bằng không. $g$ $g$

(hoặc, thay vào đó, tìm độ lớn lớn nhất mà một gốc của đa thức ngược của có thể có; gốc của đa thức ngược là nghịch đảo của gốc ) $g$ $g$

Có bất kỳ vấn đề về đại diện dữ liệu, ở đây? NP về cơ bản là về các máy Turing và không rõ ràng ngay lập tức nó liên quan đến số thực như thế nào hoặc số bit cần thiết để ghi lại các số liệu có độ chính xác đủ. (Tôi xin lỗi vì không mang tính xây dựng: Tôi biết đủ để biết đây có thể là một vấn đề nhưng không đủ để biết liệu đó có thực sự là vấn đề hay không, nếu có, làm thế nào để khắc phục nó.)

— David Richerby

@DavidRicherby: Tôi giả định các yếu tố đầu vào cơ bản chỉ là hệ số của đa thức bằng văn bản trong hệ nhị phân, và kỳ vọng của tôi là số bit bạn cần phải đại diện cho trong nhị phân sẽ được bao bọc bởi một hàm đa thức của số bit của đầu vào. Nếu chúng ta sử dụng hai tham số, số lượng các bit đầu vào và mức độ của các đa thức, sau đó tôi gần như chắc chắn rằng số lượng các bit bạn cần cho sẽ là đa thức về số lượng các bit đầu vào, nhưng tôi ít chắc chắn chính xác làm thế nào nó sẽ phụ thuộc vào mức độ.

a

$a$

a

$a$

Đầu vào như một danh sách các hệ số có ý nghĩa hoàn hảo. Nhưng các giả định của bạn về độ chính xác cần thiết để đại diện cho rễ chắc chắn cần phải được kiểm tra. Ví dụ, lý do mà vấn đề thứ mười của Hilbert (giải phương trình Diophantine) là không thể giải quyết được về cơ bản là bạn không thể ràng buộc độ dài của giải pháp về độ dài của đầu vào. Điều đó không thể áp dụng trực tiếp ở đây, vì chúng tôi chỉ có một biến và chúng tôi không tìm kiếm các giải pháp số nguyên, nhưng nó đặt ra một câu hỏi khá lớn về giả định về giới hạn.

— David Richerby

@David: Lý thuyết về các trường kín thực sự khác biệt đáng kể so với lý thuyết số; trực giác về cái này không thực sự dịch tốt cho cái kia.

Điều gì xảy ra nếu hai gốc cách nhau hoặc ? Sản xuất một ước tính đủ chính xác có thể khó khăn.

k + 2^{- 2^{2^{n}}}

$k+2^{-2^{2^n}}$

k - 2^{- 2^{2^{n}}}

$k-2^{-2^{2^n}}$

— Yuval Filmus

tôi sẽ nhận câu hỏi của bạn khi hầu hết mở kết thúc. bằng chứng galois hiện được gọi là Abel-Ruffini thm cho thấy sự bất khả thi của các giải pháp đa thức đối với tinh hoa. (ngược lại với ví dụ phương trình bậc hai). Vì vậy, nó không thực sự là một kết quả về độ cứng của một vấn đề mà là không thể . trong ý nghĩa này, nó tương tự như ví dụ như một bằng chứng về tính không ổn định của vấn đề tạm dừng. lý thuyết phức tạp nói chung liên quan đến "chi phí" của các giải pháp điện toán. đó là quan điểm của hai nhà nghiên cứu CS hàng đầu trong phần giới thiệu của bài viết sau ( Tính toán và Độ phức tạp / Kleinberg & Papadimitriou), giây 1 Nhiệm vụ cho Công thức Quintic:

Nhìn từ khoảng cách an toàn trong một vài thế kỷ, câu chuyện rõ ràng là một câu chuyện về sự kết hợp và nó chứa nhiều thành phần quan trọng nảy sinh trong những nỗ lực sau này để mô hình hóa tính toán: Chúng tôi thực hiện một quy trình tính toán mà chúng tôi hiểu bằng trực giác (giải phương trình , trong trường hợp này), xây dựng một mô hình chính xác và từ mô hình rút ra một số hậu quả rất bất ngờ về sức mạnh tính toán của quy trình. Đó chính xác là cách tiếp cận này mà chúng tôi muốn áp dụng cho tính toán nói chung.

ở một nơi khác, sự tương tự lỏng lẻo / chung có thể là bằng chứng NP P (hoặc tách lớp phức tạp khác) tương tự như kết quả không thể tính toán có phần giống như Abel-Ruffini thm. một kết quả phân tách nói đại khái rằng các vấn đề thuộc một loại nhất định không thể được giải quyết bằng "tài nguyên tính toán" của một loại khác. một định lý NP P sẽ được xem như là một kết quả không thể tính toán (hoành tráng). $\neq$ $\neq$

— vzn
nguồn

Tôi không chắc chắn rằng vấn đề tạm dừng là một sự tương tự tốt, vì nó nằm dọc theo dòng "bạn không thể tính toán câu trả lời" thay vì "hoàn toàn không có câu trả lời".

Có phải định lý Galois không phải là kết quả tính toán không giống như bài toán Dừng?

— dùng6818