Thuật toán hiệu quả cho vấn đề tối ưu hóa này? Lập trình năng động?

Tôi đã tạo một sơ đồ mô tả những gì tôi đang cố gắng thực hiện.

Hình ảnh kích thước đầy đủ

Trong chuỗi đầu vào, các nút càng gần nhau càng tốt. Nhưng tôi muốn các nút trắng càng gần các nút đen tương ứng của chúng càng tốt. Các cạnh giữa các nút có thể được kéo dài để cố gắng giảm thiểu lỗi này. Chúng không thể được rút ngắn. Vì vậy, 1 -> 2có thể không ít hơn 4, ví dụ.

Tôi đã bao gồm một giải pháp có thể. Các cạnh đã được kéo dài được dán nhãn. Lưu ý rằng việc kéo dài một cạnh sẽ dịch chuyển tất cả các nút sang bên phải của nó.

Trục này là liên tục, nhưng tôi có thể có thể rời rạc nó nếu điều đó có ích.

Tôi nghĩ rằng một phương pháp lập trình động có thể hoạt động ở đây nhưng tôi không chắc chắn - tôi chưa bao giờ rất tốt với DP.

Thuật toán chạy nhanh nhất có thể giải quyết điều này là gì? Điều này có thể được phân loại / đóng khung lại như là một vấn đề nổi tiếng?

Đây chỉ là phần mở rộng cho câu trả lời của @ Sébastien Loisel.

Thông báo giảm thiểu $(x_i-y_i)^2$ tùy thuộc vào $x_i-x_{i-1}\ge c_i$ tương đương với giảm thiểu $(x_i-(y_i-c_i))^2$ tùy thuộc vào $x_i\geq x_{i-1}$. Để cho$a_i=y_i-c_i$, thì đây chính xác là vấn đề hồi quy đẳng hướng . Có tồn tại một$O(n)$ thuật toán thời gian.

Nếu bạn rời rạc trục thì bạn có thể sử dụng lập trình động. Cho mỗi quả bóng$b$ và vị trí khả thi $\ell$ (trong một số giới hạn hợp lý), tính toán bình phương trung bình tốt nhất cho lần đầu tiên $b$những quả bóng. Điều này có thể được thực hiện thường chỉ cùng một loại thông tin cho bóng$b-1$.

Đây là một chương trình bậc hai. Bạn đang cố gắng giảm thiểu tổng số$(x_i-y_i)^2$ tùy thuộc vào $x_i-x_{i-1}\ge c_i$.