Chuyển đổi giảm Lemma và AC0 giữa các vấn đề SAT

Đã có những nỗ lực thể hiện (sử dụng Bổ đề chuyển đổi), ví dụ, SAT hoặc 3SAT không thể có AC$^0$giảm xuống 2SAT? Các vấn đề hoặc khó khăn liên quan là gì?

SAT và 3SAT hoàn tất cho NP và 2SAT hoàn thành cho NL theo AC$^0$giảm. Do đó một bằng chứng như vậy sẽ tách NP khỏi NL .

Trong trường hợp giảm 3SAT xuống 2SAT trong AC$^0$, quạt phía dưới được giới hạn bởi 3 (ít nhất là trước khi chuyển đổi đầu tiên).

Thật khó để thấy bạn sẽ sử dụng thực tế như thế nào khi mục tiêu giảm là 2SAT chứ không phải là 3SAT.

Cách phổ biến người ta áp dụng bổ đề chuyển đổi là khoảng này. Áp dụng một hạn chế ngẫu nhiên sửa tất cả trừ một$\lambda$ một phần của đầu vào, đối với một số tham số nhỏ $\lambda$phụ thuộc vào các tham số (kích thước và độ sâu) của mạch AC ^{0 được} đề cập. Sau đó với xác suất không đổi, hàm được tính toán bởi mạch AC ⁰ trở thành hằng số.

Áp dụng điều này trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi đã sửa tất cả nhưng $\lambda n$ của đầu vào, và đổi lại, một số $\mu$một phần của đầu ra là cố định. Còn bây giờ thì sao? Chúng tôi không biết gì về việc giảm, vì vậy không rõ làm thế nào để có được mâu thuẫn. Hơn nữa, tôi không thấy cách bạn sẽ sử dụng thực tế rằng vấn đề mục tiêu là 2SAT chứ không phải là, 3SAT, trong trường hợp đó không thể có mâu thuẫn.

Bổ đề chuyển đổi là tốt nhất khi bạn có một chức năng cụ thể và bạn muốn chứng minh giới hạn AC ⁰ thấp hơn cho chức năng cụ thể này. Một cách khác, ít điển hình hơn, sử dụng bổ đề chuyển đổi là để chứng minh một số tính chất chung của bất kỳ chức năng nào được tính toán bởi mạch AC ⁰ . Ví dụ nổi tiếng nhất là Linialile MansourTHER Nisan, đưa ra các giới hạn về tốc độ phân rã của phổ Fourier. Không rõ bạn sử dụng thông tin như thế nào trong trường hợp của bạn.

một số góc / POV khác về câu hỏi của bạn không đưa nó hẹp / theo nghĩa đen. một cấu trúc giống như bổ đề chuyển đổi đã "được tìm thấy" là trung tâm của một bằng chứng nổi tiếng / rất tiên tiến trong lý thuyết phức tạp cho thấy một ràng buộc thấp hơn theo cấp số nhân đối với một vấn đề giống SAT trong các mạch đơn điệu, được phát hiện đầu tiên bởi Razborov, người đã chiến thắng giải thưởng Nevanlinna cho những năm trước. tuy nhiên bằng chứng ban đầu của anh ta không được hiểu là ở dạng đó và phải mất nhiều năm phân tích lại trên nhiều giấy tờ để đưa ra kết nối đó. nỗ lực này được tóm tắt trong bài báo này: Độ phức tạp đơn điệu bằng cách chuyển Lemma / Harnik, Raz. như được trích dẫn trong bài báo của họ, nó được kết nối với một cuộc cải cách của Berg và Ulfberg [BeUl97].

Vì vậy, bổ đề chuyển đổi và cải cách của nó tiếp tục là một lĩnh vực nghiên cứu tích cực và là một "thiết bị" cơ bản trong việc tách các lớp phức tạp, và do đó có lẽ không nên loại bỏ hoàn toàn việc sử dụng nó trong tương lai (quan trọng? / quan trọng?) kết quả tách. còn câu hỏi của bạn chạm vào P vs L cũng mở và được nhiều người cho rằng có thể khó như P vs NP (cả hai câu hỏi đã được mở gần như cùng một khoảng thời gian, khoảng ~ 4½ thập kỷ). tuy nhiên, một số hạn chế của kỹ thuật có thể được nhìn thấy trong hàng rào bằng chứng tự nhiên được xác định bởi Razborov / Rudich.

như đối với 3SAT so với 2SAT khi bạn hỏi trong câu hỏi của bạn, tất nhiên 2SAT ở P và 3SAT đã hoàn tất NP, do đó, bất kỳ sự "giảm" đáng kể nào cũng có thể liên quan đến P vs NP. viết ý tưởng NP vs NL của bạn, có những lĩnh vực nghiên cứu tích cực khác liên quan đến câu hỏi P vs NL, ví dụ như phân tích gần đây của Wehar, Kết quả độ cứng cho Giao lộ Không trống rỗng

đối với việc giảm AC ⁰ và ý nghĩa của nó đối với sự phân tách lớp phức tạp (mở), có một số kết nối được ghi nhận trong kết quả đột phá gần đây này, Một định lý phân cấp độ sâu trường hợp trung bình cho các mạch Boolean / Rossman, Servedio, Tan (ví dụ p5)

Câu hỏi của Meyer: Có một thế giới tương đối hóa trong đó hệ thống phân cấp đa thức là vô hạn?

... để trả lời câu hỏi của Meyer trong câu khẳng định, nó đủ để trưng bày, cho mọi hằng số d $\mathbb{N}$, một hàm Boolean F _d có thể tính toán được bằng mạch AC ⁰ độ sâu sao cho bất kỳ độ sâu mạch nào (d - 1) F _d yêu cầu kích thước siêu quasipolynomial.