Tối đa hóa khoảng cách giữa các nút k trong biểu đồ

Tôi có một đồ thị không trọng số không định hướng và tôi muốn chọn nút từ sao cho chúng cách nhau càng xa càng tốt, về khoảng cách trắc địa . Nói cách khác, chúng phải được trải rộng xung quanh biểu đồ càng tốt. $G$ $k$ $G$

Hãy là chiều dài của một con đường ngắn nhất giữa và trong . Bây giờ, đối với một tập hợp các đỉnh , hãy xác định $d(u,v)$ $u$ $v$ $G$ $X \subseteq V(G)$

d (X) = \sum_{{u, v} \subseteq X} d (u, v) .

$d(X) = \sum_{\{u,v\} \subseteq X}d(u,v).$

Hãy để cho vấn đề phân tán SET thể là vấn đề mà trên đầu vào hỏi để tìm một tập hợp các đỉnh tối đa hóa . $G,k$ $k$ $X$ $d(X)$

Có một thuật toán hiệu quả giải quyết SCATTERED SET?

algorithms graph-theory graphs

— jbx
nguồn

@DW Mục tiêu sẽ là tối đa hóa khoảng cách giữa tất cả các nút được chọn. Vì vậy, trong ví dụ của bạn, 5,5,5 sẽ tốt hơn vì nó sẽ là 15. Một cách khác để xem xét đó là tôi cần tối đa hóa số nút trung gian trong biểu đồ mà người ta sẽ cần phải đi qua để cuối cùng truy cập tất cả các nút được chọn. Không chắc chắn về phân cụm, bạn có bất kỳ cách tiếp cận cụ thể trong tâm trí?

— jbx

X

$X$

G

$G$

G

$G$

X

$X$

G

$G$

k

$k$

G

$G$

k

$k$

Mục tiêu có thể được viết lại để tối đa hóa khoảng cách trung bình.

— Pål GD

hơi giống với việc tìm các trung tâm / trung tâm trong biểu đồ

— vzn

Câu trả lời:

Tôi không biết có thuật toán đa thức thời gian không (có vẻ như nó có thể là NP-hard), nhưng đây là một số cách tiếp cận thuật toán hợp lý mà bạn có thể xem xét, nếu bạn cần giải quyết nó trong thực tế:

Heuristic

$k$

FPF ra khỏi tài liệu về phân cụm dựa trên đồ thị và đã được giới thiệu trong tài liệu nghiên cứu sau đây:

Teofilo F. Gonzalez. Phân cụm để giảm thiểu khoảng cách intercluster tối đa . Khoa học máy tính lý thuyết, tập 38, tr.293-306, 1985.

Bạn có thể thử khám phá tài liệu về phân cụm dựa trên biểu đồ để xem có ai đã nghiên cứu vấn đề cụ thể của bạn không.

Thuật toán chính xác

Nếu bạn gặp vấn đề này trong thực tế và cần một giải pháp tối ưu chính xác, bạn có thể thử giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng bộ giải ILP.

$x_i$ $x_i$ $i$ $y_{i,j}$ $y_{i,j}=1$ $x_i=1$ $x_j=1$ $\sum_{i,j} d(i,j) y_{i,j}$ $\sum x_i \le k$ $x_i \ge y_{i,j}$ $x_j \ge y_{i,j}$

$x_i$ $x_i$ $i$ $y_{i,j}$ $\phi \land \land_{i,j} y_{i,j}$ $\phi$ $W$ $W$ $y_{i,j}$ $d(i,j)$ $\phi$ $k$ $x_i$ $y_{i,j}=x_i \land x_j$ $i,j$

— DW
nguồn

Không, vấn đề là NP-đầy đủ.

$(G,k)$ $G'$ $u$ $G$ $G$ $G'$ $G$

$(G',k)$ $2\binom{k}{2}$ $G$ $k$

— Pål GD
nguồn