Có bất kỳ mối quan hệ cụ thể nào giữa định lý không hoàn chỉnh của Gôdel, vấn đề tạm dừng và máy Turing phổ dụng không?

75

Tôi đã luôn nghĩ mơ hồ rằng câu trả lời cho câu hỏi trên là khẳng định dọc theo các dòng sau. Định lý không hoàn chỉnh của Gôdel và tính không ổn định của vấn đề tạm dừng vừa là kết quả tiêu cực về tính quyết định vừa được thiết lập bởi các đối số đường chéo (và trong những năm 1930), do đó, bằng cách nào đó chúng phải là hai cách để xem cùng một vấn đề. Và tôi nghĩ rằng Turing đã sử dụng một máy Turing phổ dụng để chỉ ra rằng vấn đề tạm dừng là không thể giải quyết được. (Xem thêm câu hỏi toán học này. EE .)

Nhưng bây giờ (dạy một khóa học về khả năng tính toán) Tôi nhìn kỹ hơn vào những vấn đề này, tôi khá hoang mang với những gì tôi tìm thấy. Vì vậy, tôi muốn một số trợ giúp với việc nói thẳng suy nghĩ của tôi. Tôi nhận ra rằng một mặt đối số đường chéo của Gôdel rất tinh tế: nó cần rất nhiều công việc để xây dựng một tuyên bố số học có thể được hiểu là nói điều gì đó về tính khả biến của chính nó. Mặt khác, bằng chứng về tính không ổn định của vấn đề tạm dừng mà tôi tìm thấy ở đây là cực kỳ đơn giản và thậm chí không đề cập rõ ràng đến máy Turing, chứ đừng nói đến sự tồn tại của máy Turing phổ dụng.

Một câu hỏi thực tế về máy Turing phổ dụng là liệu tầm quan trọng của bảng chữ cái của máy Turing phổ có giống với máy Turing mà nó mô phỏng không. Tôi nghĩ rằng điều đó là cần thiết để tạo ra một đối số đường chéo thích hợp (có máy tự mô phỏng), nhưng tôi không tìm thấy bất kỳ sự chú ý nào cho câu hỏi này trong bộ sưu tập mô tả hoang mang mà tôi tìm thấy trên mạng. Nếu không phải là vấn đề tạm dừng, các máy Turing phổ dụng có hữu ích trong bất kỳ đối số đường chéo nào không?

Cuối cùng tôi bối rối bởi phần tiếp theo nàycủa cùng một bài viết WP, nói rằng một dạng yếu hơn của sự không hoàn hảo của Gôdel xuất phát từ vấn đề tạm dừng: "một tiên đề hoàn chỉnh, nhất quán và đúng đắn của tất cả các tuyên bố về các số tự nhiên là không thể chấp nhận được" trong đó "âm thanh" được coi là sự suy yếu. Tôi biết một lý thuyết là nhất quán nếu người ta không thể rút ra được mâu thuẫn, và một lý thuyết hoàn chỉnh về số tự nhiên dường như có nghĩa là tất cả các phát biểu đúng về số tự nhiên có thể được suy ra trong đó; Tôi biết Gôdel nói rằng một lý thuyết như vậy không tồn tại, nhưng tôi không thấy làm thế nào một con thú giả định như vậy có thể không thể phát ra âm thanh, tức là, cũng đưa ra những tuyên bố sai cho các số tự nhiên: sự phủ định của tuyên bố như vậy là đúng và do đó bằng sự hoàn chỉnh cũng có thể dẫn xuất được, điều này sẽ mâu thuẫn với tính nhất quán.

Tôi sẽ đánh giá cao bất kỳ sự làm rõ về một trong những điểm này.

— Marc van Leeuwen
nguồn

Bạn có một vấn đề về khái niệm: tính quyết định thuật toán (vấn đề dừng) và khả năng tạo khả năng đáp ứng. chứng minh (logic) là hai khái niệm rất khác nhau; bạn dường như sử dụng "tính quyết định" cho cả hai.

— Raphael

1

@Raphael: Tôi nhận thức rất rõ rằng có một sự khác biệt lớn về mặt khái niệm giữa các phát biểu của định lý không hoàn chỉnh và tính không ổn định của vấn đề tạm dừng. Tuy nhiên, dạng không hoàn chỉnh của hệ thống: một hệ thống chính thức đủ mạnh có thể vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh, chuyển thành một tuyên bố không thể thiếu -có thể bán định mức là tốt (như phủ định của các định lý, giả sử tính nhất quán, hoặc khác như tập rỗng), do đó có thể quyết định.

— Marc van Leeuwen

đúng vậy, hai bằng chứng về mặt khái niệm cực kỳ giống nhau và trên thực tế, có một cách để xem xét đó là Godel đã xây dựng một loại logic hoàn chỉnh trong số học. có nhiều cuốn sách chỉ ra sự tương đương về khái niệm này. ví dụ: Godel Escher Bach của hofstadter hoặc Emperors New Mind by penrose ....

— vzn

Một cái gì đó có liên quan ... Tôi luôn luôn đánh giá sai nhãn hiệu của Hofstadter khi Rùa liên tục phá vỡ kỷ lục của người chơi Achilles, khi áp dụng cho vấn đề tạm dừng. Trong thực tế, tôi tìm thấy chủ đề này bằng cách (tìm lại) sự nhầm lẫn của tôi. Tôi vẫn cảm thấy parabel dịch tự nhiên hơn và trực tiếp đến vấn đề tạm dừng, nhưng điều này không có bất kỳ hiểu biết sâu sắc nào về định lý.

— micans

32

Tôi khuyên bạn nên kiểm tra bài đăng trên blog của Scott Aaronson về bằng chứng của Định lý không đầy đủ thông qua các máy Turing và Định lý Rosser. Bằng chứng của ông về định lý không hoàn hảo là cực kỳ đơn giản và dễ làm theo.

— Marcos Villagra
nguồn

Cảm ơn bạn vì liên kết này, tôi sẽ chấp nhận ngay bây giờ vì điều này gần nhất với mối quan tâm của tôi. Lúc đầu, tôi khá băn khoăn: Tôi đã hiểu nhầm "hoàn thành" có nghĩa là "mọi sự thật đều là một dẫn xuất" (một sự đối lập với âm thanh) chứ không phải là "nếu không thể dẫn xuất được thì là" (một sự đối lập với nhất quán). Scott Aaronson dường như tin tưởng ý nghĩa của "hoàn thành" là rõ ràng đối với khán giả, mặc dù anh ta dường như không giả định một khán giả logic (mà tôi chắc chắn không phải); với sự hiểu lầm của tôi những gì anh ấy viết không có ý nghĩa. Tìm thấy lỗi của tôi, tôi thấy bài viết khá thú vị.

P

$P$

\neg P

$\lnot P$

— Marc van Leeuwen

1

Có một bằng chứng khác trong một tĩnh mạch tương tự trong cuốn sách Bản chất của tính toán ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/iêu ) trong chương về khả năng tính toán. Ở đó, các tác giả tránh sử dụng định lý của Rosser và chỉ giả sử sự tồn tại của các cỗ máy vạn năng (tức là Luận án Turing của Giáo hội). Tài liệu tham khảo chính xác là phần 7.2.5 trang 238.

— Marcos Villagra

21

Câu trả lời của Neel Krishnaswami cho vấn đề Ngừng, bộ không thể tính toán: bằng chứng toán học phổ biến? trên điểm CSTheory với các tài liệu tham khảo kết nối các kết quả trên dưới lý thuyết thể loại.

— Suresh
nguồn

1

bài viết này không được đề cập trong câu trả lời cstheory (nhưng trong các bình luận của bài đăng trên blog của Andrej Bauer từ câu trả lời), nhưng có lẽ cũng là một tổng quan tốt.

— Artem Kaznatcheev

Đây là một kết nối dựa trên sự giống nhau của bằng chứng, chứ không phải là hàm ý giữa các kết quả, phải không?

— Raphael

1

Chà, quan điểm trong bài báo mà Artem liên kết đến là đây đều là những biểu hiện của một thực tế lý thuyết phạm trù duy nhất.

— Suresh

16

(Đây được cho là một nhận xét cho câu trả lời của Suresh, nhưng đơn giản là nó quá dài để phù hợp ở đó. Vì vậy, tôi xin lỗi trước rằng nó không thực sự trả lời câu hỏi của Marc.)

Tôi tìm thấy câu trả lời của Neel Vấn đề dừng, các bộ không thể tính toán: bằng chứng toán học phổ biến? trên bài đăng trên blog của CSTheory và Andrej Bauer không đạt yêu cầu vì hai lý do.

$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

Thứ hai, bằng chứng trên là không thỏa đáng vì chúng tôi cũng muốn "xem" ví dụ về một ngôn ngữ không thể giải quyết hợp lý. Bằng chứng trên có thể được xem như là một đối số đếm và do đó không thực sự "mang tính xây dựng" theo nghĩa đó. Turing đã phát hiện ra vấn đề tạm dừng như một ví dụ như vậy.

— Đại
nguồn

+1 Đây là một cách tiếp cận đơn giản hơn, nhưng tôi vẫn nghi ngờ về điều này: "và do đó chúng tôi biết rằng phải tồn tại một ngôn ngữ không thể giải quyết được." Bạn có thể chỉ định sự khác biệt giữa ngôn ngữ không thể giải quyết và vấn đề không thể giải quyết được?

— Hernan_eche

1

x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

Nhưng đối số đường chéo thực sự là một bằng chứng xây dựng. Cùng với việc bạn giảm theo Định lý Cantor, ngôn ngữ không thể giải quyết được là tập hợp tất cả các máy có mã hóa không theo ngôn ngữ được chấp nhận.

— Willard Zhan

6

$\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

$K$ $¬KK$

— jmad
nguồn

Đối với đủ không quan trọng f (n).

— Yonatan N

0

"Nếu không phải là vấn đề tạm dừng, các máy Turing phổ dụng có hữu ích trong bất kỳ đối số đường chéo nào không?"

Định lý của Rice về cơ bản là khái quát hóa đường chéo đối với máy Turing. Điều đó cho thấy rằng hoàn toàn không có tài sản nào về máy Turing mà bạn có thể quyết định cho tất cả các máy Turing bằng một thuật toán duy nhất trừ khi thuộc tính đó giữ cho tất cả các máy Turing hoặc không có máy Turing. Lưu ý thực tế rằng tài sản giữ cho tất cả các máy Turing hoặc không có máy Turing nào ngăn đối tượng chéo hóa là máy Turing, do đó, nó không thể nằm trong danh sách ở vị trí đầu tiên để phản bác quyết định về tài sản. Quả thực đây là duy nhấtđiều ngăn đối tượng chéo hóa nằm trong danh sách và mâu thuẫn với quyết định về tài sản, đó là tất cả các thuộc tính của máy Turing là không thể giải quyết được. Mô hình này của đối tượng đường chéo cần phải là thành viên của danh sách những điều bạn đang cố gắng đưa ra quyết định và phủ nhận quyết định, là sự trừu tượng quan trọng mà định lý Lawvere (được tham chiếu trong liên kết trong câu trả lời của Suresh) để khái quát đầy đủ các khái niệm về đường chéo. Bây giờ, vì chúng ta biết theo kinh nghiệm rằng gần như mọi đường chéo dường như có đặc tính chung dẫn đến một số kết quả cực kỳ quan trọng trong logic toán học, điều đó làm cho định lý Lawvere trở thành công cụ thú vị.

— khom lưng
nguồn