Là quyết định quyết định quyết định?

Tôi tự hỏi nếu quyết định tính quyết định của vấn đề là một vấn đề có thể quyết định. Tôi đoán là không, nhưng sau những tìm kiếm ban đầu tôi không thể tìm thấy bất kỳ tài liệu nào về vấn đề này.

Bản chỉnh sửa chính của bản gốc của tôi:

Một cách đọc ngây thơ về câu hỏi của bạn dường như, hãy để là vấn đề$P$

Cho một ngôn ngữ, L , nó có thể quyết định?$P=$$L$

Sau đó bạn hỏi

Là decidable?$P$

Như DW và David đã lưu ý, câu trả lời là "đúng vậy", mặc dù chúng ta không biết ai trong hai người quyết định tầm thường là đúng. Để đóng khung vấn đề của bạn sao cho nó không quá tầm thường, tôi đề nghị điều này. Trước tiên, hãy hạn chế mọi thứ một chút bằng cách chỉ xem xét các ngôn ngữ là ngôn ngữ được một số TM M chấp nhận . Lý do để làm điều này là nếu một ngôn ngữ không được chấp nhận bởi bất kỳ TM nào, thì đó không phải là ngôn ngữ (có thể nhận ra) và do đó không thể được đệ quy (có thể quyết định). Sau đó chúng ta có thể làm lại$L(M)$$M$ là$P$

Cho một mô tả, ⟨ M ⟩ của TM, M là L ( M ) decidable?$P'=$$\langle M\rangle$$M$$L(M)$

Bây giờ là một ngôn ngữ mô tả TM, chứ không phải là một ngôn ngữ của các ngôn ngữ như P dường như là (dưới một sự giải thích rộng rãi), và nó bây giờ hoàn toàn hợp lý để hỏi xem ngôn ngữ$P'$$P$ là decidable. Dưới đọc này, ngôn ngữ { ⟨ M ⟩ | M  là thương hiệu đã và  L ( M )  là decidable } bao gồm giới thiệu TM là không decidable. Đây là một hệ quả dễ dàngcủa Định lý Rice. Vì vậy, bây giờ chúng tôi có hai câu trả lời: "không" và "có" của DW, tùy thuộc vào cách giải thích.$P'$

Như chúng ta đã thấy trong các câu trả lời khác nhau, một phần của câu trả lời là trong việc xây dựng vấn đề đúng.

Năm 1985, Joost Engelfriet đã viết "Tính không tính toán được" (Bản tin của EATCS số 26, tháng 6 năm 1985, trang 36-39) như một câu trả lời cho câu hỏi của một sinh viên thông minh. Thật không may, BEATCS lúc đó chỉ ở trên giấy và bài báo không để lại dấu vết điện tử.

Các tác giả giả định chúng ta có một (logic) hình thức với các toán tử logic thông thường và các biến. Định nghĩa chính xác của nó là không quan trọng. Một công thức F ( m , n ) xác định một hàm f : N → N khi và chỉ khi (cho tất cả m , n ∈ N ) $\Psi$$F(m,n)$$f:\Bbb N \to \Bbb N$$m,n\in \Bbb N$⇔ F ( m _ , n _ ) là đúng, nơi m _ là chữ số đại diện cho số m .$f(m)=n$ $\Leftrightarrow$ $F(\underline m,\underline n)$$\underline m$$m$

Tôi trích dẫn:

Định lý 1 . Hãy là một hình thức trong đó cả một tính toán và một hàm phi tính toán N → N có thể được xác định. Sau đó, không có thuật toán nào cho hàm xác định tùy ý f (được đưa ra bởi một công thức chỉ định nó) quyết định xem f có thể tính toán được không.$\Phi$$\Bbb N \to \Bbb N$$f$$f$

Phần thú vị nằm trong quan sát sau đây được thực hiện trong bài báo:

Lưu ý rằng định lý này áp dụng đặc biệt để formalisms trong đó tất cả các chức năng tính toán có thể được chỉ định (một điều kiện tự nhiên cho một hình thức như vậy), bởi vì khi đó cũng là một chức năng không tính toán có thể được xác định.$\Phi$

Đúng. Nó luôn luôn là quyết định.

Đối với bất kỳ vấn đề P nào, hãy coi Q là vấn đề xác định xem P có thể quyết định được hay không. Tôi cho rằng Q là quyết định. Đây là lý do tại sao. Về mặt tự nhiên, P là có thể quyết định, hoặc không. Vì vậy, một trong hai chương trình là chính xác: (1) print "yup P is decidable"hoặc (2) print "nope P is not decidable". Nó có thể là không tầm thường để tìm ra chương trình nào trong hai chương trình đó là đúng, một trong số đó là chính xác, vì vậy một người quyết định cho Q chắc chắn tồn tại . Do đó, vấn đề Q là quyết định.

Điều này gợi nhớ đến câu hỏi kinh điển sau đây: Có thể quyết định được không nếu phỏng đoán của Collatz là đúng? Câu trả lời là có. Điều này có thể trông kỳ lạ, vì không ai biết liệu phỏng đoán của Collatz có đúng không (đó là một vấn đề mở nổi tiếng). Tuy nhiên, những gì chúng ta biết là phỏng đoán của Collatz là đúng hoặc không. Trong trường hợp trước, chương trìnhprint "yup it's true" là một người quyết định. Trong trường hợp sau, chương trình print "nope it's not true"là một người quyết định. Chúng tôi không biết ai là người quyết định hợp lệ, nhưng điều này đủ để chứng minh rằng người quyết định hợp lệ tồn tại. Do đó, vấn đề là quyết định.