Là 2-SAT với XOR-mối quan hệ NP-hoàn thành?

Tôi tự hỏi liệu có một thuật toán đa thức cho "2-SAT với quan hệ XOR" không. Cả 2-SAT và XOR-SAT đều thuộc P, nhưng sự kết hợp của nó là gì?

Ví dụ đầu vào:

• Phần 2-SAT: (a or !b) and (b or c) and (b or d)

• Phần XOR: (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

Nói cách khác, đầu vào là công thức boolean sau:

Kết quả ví dụ: Hài lòng: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0.

Cả số mệnh đề 2-SAT và số mệnh đề XOR trong đầu vào là , trong đó n là số lượng biến boolean.$O(n)$$n$

Bạn chưa chỉ định mức độ quan trọng của các mối quan hệ XOR của mình, nhưng giống như trong việc giảm SAT-to-3SAT thông thường, bạn luôn có thể sắp xếp rằng mức độ cao nhất của họ là 3. Bây giờ bạn đang ở vị trí tuyệt vời để áp dụng định lý phân đôi của Schaefer , sẽ cho bạn biết liệu vấn đề của bạn nằm ở P hay NP-đầy đủ (đây là hai tùy chọn duy nhất). Nếu hóa ra là ở P, bước tiếp theo có thể là Allender et al. , sẽ cho bạn biết vấn đề của bạn dễ dàng như thế nào.

Theo định lý phân đôi của Schaefer , đây là NP-Complete.

$\Gamma$$R(x,y,z)$$x \lor y$$x \lor \neg y$$\neg x \lor \neg y$$x \oplus y \oplus z$$x \oplus y \oplus \neg z$

Bây giờ áp dụng định lý phân đôi của Schaefer, ở dạng hiện đại . Kiểm tra từng thao tác trong sáu thao tác để xem chúng có phải là đa hình không:

• $x \lor y$
• $\neg x \lor \neg y$
• $x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• $\neg x \lor \neg y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$
• $x \oplus y \oplus z$$(0,0,1)$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• $x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$$(0,0,0)$

Theo sau, vấn đề này là NP-đầy đủ, ngay cả khi bạn giới hạn tất cả các mệnh đề XOR có độ dài tối đa là 3.

$(x \oplus y)$$(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$