Tại sao định lý Schaefer không chứng minh rằng P = NP?

Đây có lẽ là một câu hỏi ngu ngốc, nhưng tôi không hiểu. Trong một câu hỏi khác, họ đã đưa ra định lý phân đôi của Schaefer . Đối với tôi có vẻ như nó chứng minh rằng mọi vấn đề CSP đều ở P hoặc hoàn thành NP, nhưng không phải ở giữa. Vì mọi vấn đề NP có thể được chuyển đổi trong thời gian đa thức thành CSP (vì CSP đã hoàn thành NP), tại sao điều này không chứng minh rằng không có khoảng cách giữa P và NP-Complete và do đó P = NP?

Ví dụ, suy nghĩ của tôi diễn ra như vậy, hệ số nguyên có thể được viết lại thành một vấn đề thỏa đáng, vì vậy sử dụng định lý Schaefer, nó phải ở dạng P hoặc NP hoàn chỉnh nhưng không ở giữa (ngay cả khi chúng ta không thể tìm ra nó là cái nào).

Một cách khác để xem xét toàn bộ câu hỏi: Tại sao chúng ta không thể sử dụng định lý Schaefer để quyết định xem hệ số nguyên có trong P hoặc trong NP-đầy đủ không?

EDIT: để trả lời câu trả lời của David Richerby (quá dài cho một nhận xét):

Thú vị, nhưng tôi chưa hiểu đầy đủ. Khi xác định tập hợp các mối quan hệ trong khi sử dụng định lý Schaefer, chúng tôi có thể áp đặt các hạn chế đối với nó. Ví dụ: chúng tôi có thể hạn chế gamma chỉ sử dụng các mối quan hệ của arity 2 (khi đó vấn đề nằm ở P). Những loại hạn chế nào chúng ta có thể áp đặt cho gamma?

Tại sao chúng ta không thể áp đặt các hạn chế như vậy mà tất cả các trường hợp của CSP (gamma) hoàn toàn giống với (đẳng cấu với?) L? Ví dụ: khi chuyển đổi hệ số nguyên cho các số không đều, một trong hai ước số là nhị phân được biểu diễn là xn .. x3 x2 1. Bây giờ, tôi muốn số này lớn hơn 1. Vì vậy, tôi có quan hệ (xn hoặc .. hoặc x3 hoặc x2). Vì vậy, tôi nói rằng gamma có thể có mối quan hệ hoặc của arity n-1. Nhưng tôi không muốn rằng mối quan hệ hoặc được sử dụng để bao gồm các trường hợp khác ngoài L trong ngôn ngữ, vì vậy tôi cũng áp đặt rằng x2..xn trong quan hệ hoặc không được phép có phủ định. Tất nhiên, tôi cũng cần áp đặt các hạn chế rằng chỉ các biến cụ thể được sử dụng ở đó.

Theo cách này, không thể để CSP (gamma) đồng hình với hệ số nguyên? Câu hỏi chính là: loại hạn chế nào chúng ta có thể áp đặt cho gamma?

EDIT 2: để đáp lại câu trả lời của Yuval Filmus.

Tôi hiểu câu trả lời của bạn và nó có vẻ đúng, mặc dù giống như câu trả lời của David. Ví dụ: chúng tôi có thể giảm hệ số hóa thành 3-sat và sau đó kết luận rằng hệ số hóa là NP hoàn chỉnh, điều này là sai vì 3-sat có các trường hợp khác có thể không phải là yếu tố.

Phần mà tôi không hiểu, là khi một thể hiện là (không) tùy ý. Ví dụ, 2-SAT cũng có vẻ không độc đoán đối với tôi, vì chỉ cho phép các mệnh đề của arity 2 (mặc dù tôi phải thừa nhận rằng bằng chứng sau đó vẫn giữ vì nó là giới hạn trên và trong trường hợp này giới hạn trên là P).

Có lẽ một ví dụ tốt hơn là một tính đầy đủ NP: câu hỏi được liên kết ở trên. Một người trả lời đưa ra một bằng chứng đầy đủ của Schaefer. Nhưng tôi áp đặt các hạn chế không tầm thường đối với đầu vào (các mệnh đề 2-SAT được cho phép và các mệnh đề xor, nhưng không có gì khác). Tất nhiên, bằng chứng vẫn còn bởi vì các vấn đề CSP được xem xét trong bằng chứng hoàn toàn giống với bản gốc.

Phần mà tôi không hiểu là tại sao chúng ta không thể làm tương tự cho yếu tố? Tất nhiên không có ích gì để giảm nó xuống 3-SAT, nhưng cho phép tôi đưa ra ví dụ CSP có yếu tố số và chỉ tính hệ số (4 bit). (bỏ qua END-OF-SKIP nếu bạn tin rằng điều này là có thể).

Ví dụ nhân tố.

ĐẦU VÀO:

(N =) (4 bit của số cần tính) (M =) (4 bit của giá trị tối thiểu của ước số đầu tiên) $n_4n_3n_2n_1$
$m_4m_3m_2m_1$

Bây giờ, hãy chuyển đổi nó thành một ví dụ CSP

INPUT:
tên miền đơn cho và cho (đại diện cho N và M được cung cấp)$n_5..n_1$$m_5..m_1$

các biến có tên miền {0,1}:
(D =) (ước số đầu tiên) (E =) (ước số thứ hai)$d_4d_3d_2d_1$
$e_4e_3e_2e_1$

quan hệ:

$e_4 \lor e_3 \lor e_2$ (đại diện cho E> 1)

$(d_4 \land \neg m_4) \lor (d_4=m_4 \land d_3 \land \neg m_3) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2 \land \neg m_2) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2=m_2 \land d_1 \land \neg m_1)$
(đại diện cho D> M)

( d 1 ∧ e 2 ) ⊕ $d_1 \land e_1 = n_1$ (đại diện cho phép nhân bit ít nhất có ý nghĩa) (đại diện cho phép nhân bit tiếp theo)
$(d_1 \land e_2) \oplus (d_2 \land e_1) = n_2$
$n_3 = ... ; n_4 = ...$

KẾT THÚC

Điểm mấu chốt là, khi áp dụng định lý Schaefer, chúng ta chỉ phải xem xét các CSP đó . (Giống như đối với 2-SAT, chúng tôi chỉ xem xét các CSP có arity 2). Khi làm điều đó, một trong sáu đa hình giữ hoặc không (lưu một số quirks trong lý thuyết tập hợp). Trong cả hai trường hợp, hệ số hóa không phải là trung gian NP.

Điều này cũng có thể được thực hiện cho 3-SAT. Sau đó, chúng ta chỉ nên xem xét (sử dụng giảm) các trường hợp 3-SAT đại diện cho các trường hợp nhân tố hóa (không còn là 3-SAT nữa).

Tôi đi sai ở đâu?

$L$$\Gamma$$\Gamma$$L$$L$$\Gamma$$L$$\Gamma$

$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$