Theo nghĩa nào thì bộ Mandelbrot có thể tính toán được?

Bộ Mandelbrot là một sinh vật xinh đẹp trong Toán học.

Có rất nhiều hình ảnh đẹp của bộ ảnh này được tạo ra với độ chính xác cao, vì vậy rõ ràng bộ này là "tính toán" theo một nghĩa nào đó.

Tuy nhiên, điều khiến tôi lo lắng là thực tế là nó thậm chí không thể đếm được đệ quy - đơn giản vì bộ này không thể đếm được. Điều này có thể được giải quyết bằng cách yêu cầu một số loại biểu diễn hữu hạn của các điểm.

Hơn nữa, mặc dù chúng tôi biết chắc chắn rằng rất nhiều điểm thuộc về tập hợp và những điểm khác thì không, nhưng cũng có rất nhiều điểm có tư cách thành viên trong tập hợp mà chúng tôi không biết. Tất cả các hình ảnh chúng ta đã thấy cho đến nay có thể bao gồm rất nhiều điểm "lên đến n lần lặp được giữ trong giới hạn", nhưng những điểm đó có thể không thực sự thuộc về tập hợp.

Vì vậy, đối với một điểm nhất định với một bản trình bày hữu hạn, vấn đề "Điểm này có thuộc về tập hợp không?" vẫn chưa được chứng minh là có thể quyết định được, nếu tôi đúng.

Bây giờ, theo nghĩa nào (theo định nghĩa nào), chúng ta có thể nói bộ Mandelbrot là "tính toán"?

Có một số cách định nghĩa ý nghĩa của bộ Mandelbrot là có thể tính toán được. Một định nghĩa có thể là mô hình Smum Smub của Smum. Trong mô hình này, tính toán thực được mô hình hóa bằng một máy tương tự như máy RAM, có quyền truy cập vào số thực bị giới hạn trong số học và so sánh cơ bản. Blum và Smale đã chỉ ra rằng bộ Mandelbrot không thể tính toán được trong mô hình này, mặc dù phần bổ sung của nó có thể được liệt kê đệ quy bằng thuật toán truyền thống được sử dụng để vẽ chúng.

Một mô hình khác là phân tích tính toán , trong đó bộ Mandelbrot có thể tính toán được, như được hiển thị bởi Hertling (có điều kiện trên một phỏng đoán được tin tưởng rộng rãi, phỏng đoán siêu âm). Trong mô hình này, tính toán bộ Mandelbrot có nghĩa là có thể tính toán gần đúng với bộ Mandelbrot, trong bất kỳ độ chính xác mong muốn nào (để biết định nghĩa chính xác, xem tham chiếu về phân tích tính toán).

Tại sao, sau đó, máy tính dường như có thể vẽ bộ Mandelbrot? Khó khăn chính trong việc chỉ ra rằng thuật toán truyền thống hoạt động là rất khó để biết trước có bao nhiêu lần lặp trước khi chúng ta quyết định rằng điểm thuộc về tập hợp. Hertling cho thấy rằng nếu phỏng đoán cường điệu được tin tưởng rộng rãi nắm giữ, thì có một ràng buộc hợp lý như vậy. Có lẽ, các chương trình chỉ đơn giản là chờ đợi đủ lâu; hoặc họ không chờ đợi đủ lâu, nhưng chỉ nhận được một phần nhỏ trong số các điểm sai.

Về cơ bản, bộ Mandelbrot không thể tính toán được (theo như chúng tôi biết). Thực tế là bạn thấy hình ảnh không có nghĩa là nó có thể tính toán được. Những hình ảnh đó là điện toán sử dụng một xấp xỉ: nếu quá trình chạy dài hơn ngưỡng đã đặt, như một heuristic, mã giả định rằng nó sẽ không bao giờ chấm dứt. Heuristic này có thể sai, và kết quả là những hình ảnh đó có thể không chính xác 100%. Nói cách khác, những bức ảnh đó không phải là hình ảnh của "bộ" Mandelbrot; chúng gần đúng với bộ Mandelbrot.