Sự đều đặn của các ngôn ngữ đơn nhất với độ dài từ tổng của hai lần tương ứng. ba hình vuông

Tôi nghĩ về các ngôn ngữ đơn nguyên $L_k$ , trong đó $L_k$ được tập hợp tất cả các từ có độ dài là tổng bình phương $k$ . Chính thức:

$$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$$ Thật dễ dàng để thấy rằngkhông thường xuyên (ví dụ như với Pumping-Lemma). Hơn nữa, chúng ta biết rằng mỗi số tự nhiên là tổng của bốn hình vuông ngụ ý rằng vớitất cả các ngôn ngữđều đều vì.k ≥ 4 L k L k = L ( một *$L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$
$k\ge 4$$L_k$$L_k=L(a^*)$

Bây giờ, tôi quan tâm đến các trường hợp và :k = $k=2$$k=3$

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$ , .$L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$

Thật không may, tôi không thể chỉ ra liệu các ngôn ngữ này có thường xuyên hay không (ngay cả với sự trợ giúp của định lý ba hình vuông của Legendre hoặc định lý Fermat về tổng hai hình vuông ).

Tôi khá chắc chắn rằng ít nhất không thường xuyên nhưng suy nghĩ không vui không phải là một bằng chứng. Có ai giúp đỡ không?$L_2$

Hãy bắt đầu với . Người ta biết rằng mật độ trên của các số nguyên là tổng của hai bình phương là 0. Nếu L 2 đều đặn thì cuối cùng sẽ là định kỳ, và do đó, vì mật độ trên của nó là 0, hữu hạn. Nhưng chúng ta biết rằng có các số nguyên lớn tùy ý trong L 2 , do đó L 2 không thể đều đặn.$L_2$$L_2$$L_2$$L_2$

Về , hãy xem xét các từ w k = 1 4 k 7 . Tôi tuyên bố rằng đối với k < ℓ , những lời w k , w ℓ là inequivalent. Thật vậy, w k 1 4 k 8 ∉ L 3 trong khi w ℓ 1 4 k 7 ∈ L 3 . Tiêu chí Myhill của Nerode sau đó cho thấy L 3 không đều.$L_3$$w_k = 1^{4^k 7}$$k < \ell$$w_k,w_\ell$$w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$$w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$$L_3$

Giả sử là thường xuyên. Vậy thì bổ sung của nó, theo định lý ba hình vuông của Legendre là { a n | n = 4 k ( 8 l + 7 ) , k , l ∈ N } . Theo định lý của Parikh , điều này có nghĩa là tập hợp độ dài S = { 4 k ( 8 l + 7 ) | k , l ∈ N$L_3$$\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$$S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$là bán tuyến tính, tức là một liên kết hữu hạn của tập tuyến tính S i = { a i + r b i | r ∈ N } .$\bigcup_{i=1}^NS_i$$S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$

Xét hai phần tử với k 1 > k 2 và cho r : = k 1 - k 2 . Nếu s 1 , s 2 đều ở cùng một S i , thì cũng vậy$s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$$k_1>k_2$$r:=k_1-k_2$$s_1,s_2$$S_i$ hoặc 2 s 2 - s 1 (tùy thuộc vào việc s 1 < s 2 hay s 1 > s 2 ). Nhưng$2s_1-s_2$$2s_2-s_1$$s_1<s_2$$s_1>s_2$

• , trong đó l ′ = 4 r - 1 ( 8 l 1 + 7 ) - l 2 ,$2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$$l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$
• , trong đó l ′ = 2 l 2 - 4 r l 1 .$2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$$l'=2l_2-4^rl_1$

Cả hai đều không thuộc , vì vậy s 1 , s 2 sẽ phải ở trong các thành viên khác nhau của liên minh. Nhưng điều này là không thể, vì S là một liên minh hữu hạn, và có vô số k khác nhau .$S$$s_1,s_2$$S$$k$

Do đó, không thường xuyên.$L_3$