Lớp nhỏ nhất của mô hình automata có lớp ngôn ngữ tương ứng chứa CFL và được đóng lại (dis) cho phép không thuyết phục trong mô hình

Từ một bình luận , một câu hỏi thú vị xuất hiện. Lớp CFL (các ngôn ngữ được công nhận bởi các PDA) rõ ràng không bị đóng cửa theo thuyết không điều kiện - điều tôi muốn nói là điều này là các PDA xác định không có sức mạnh tương đương với các PDA không điều kiện.

Tuy nhiên, tất cả các CFL đều có thể quyết định được và trong trường hợp này, bất kỳ TM xác định nào cũng có sức mạnh tương đương với một TM không xác định.

Bây giờ, đây là một khoảng cách lớn - ngôn ngữ CFL "trên" nhỏ nhất được đóng lại dưới chủ nghĩa không xác định là gì?

Khái niệm về một chiếc PDA có thể được khái quát thành$S(n)$ phụ tùng tự động đẩy xuống ($S(n)$-AuxPDA) . Nó bao gồm

1. một băng đầu vào chỉ đọc, được bao quanh bởi các dấu cuối,
2. một kiểm soát nhà nước hữu hạn,
3. một băng lưu trữ đọc-ghi có độ dài $S(n)$, Ở đâu $n$ là độ dài của chuỗi đầu vào và
4. một chồng

Trong "Hopcroft / Ullman (1979) Giới thiệu về Lý thuyết, Ngôn ngữ và Tính toán của Automata (lần xuất bản thứ nhất), chúng tôi tìm thấy:

Định lý 14.1 Sau đây là tương đương với$S(n)\geq\log n$.

1. $L$ được chấp nhận bởi một quyết định $S(n)$-AuxPDA
2. $L$ được chấp nhận bởi một điều không đặc biệt $S(n)$-AuxPDA
3. $L$ trong $\operatorname{DTIME}(c^{S(n)})$ cho một số hằng $c$.

với sự ngạc nhiên:

Hệ quả $L$ trong $\mathsf P$ nếu và chỉ nếu $L$ được chấp nhận bởi một $\log n$-AuxPDA.

Bằng chứng bao gồm ba phần: (1) Nếu L được chấp nhận bởi một điều không xác định $S(n)$-AuxPDA với $S(n)\geq \log n$, sau đó $L$ trong $\operatorname{DTIME}(c^{S(n)})$ cho một số hằng $c$. (2) Nếu$L$ trong $\operatorname{DTIME}(T(n))$, sau đó $L$ được chấp nhận trong thời gian $T^4(n)$bởi một TM một băng xác định với mẫu quét đầu ngược rất đơn giản (không phụ thuộc vào đầu vào). (3) Nếu$L$ được chấp nhận trong thời gian $T(n)$ bởi một TM băng một lần xác định với kiểu quét đầu ngược rất đơn giản (không phụ thuộc vào đầu vào), sau đó $L$ được chấp nhận bởi một quyết định $\log T(n)$-AuxPDA.

Phần (1) về cơ bản là một bằng chứng nghiêm ngặt cho thấy "vấn đề tạm dừng là có thể quyết định", trong đó số lượng hoạt động được tính kỹ lưỡng. Phần (2) là ý tưởng sáng tạo chuẩn bị giai đoạn cho phần (3). Phần (3) sử dụng bộ lưu trữ phụ trợ để theo dõi bước thời gian, cho phép tái tạo lại vị trí đầu do mẫu quét đầu ngược rất đơn giản và ngăn xếp để quay lui đệ quy.

Trên đây là bản sao của phần lớn câu trả lời cho câu hỏi khác . Vì vậy, trong ý nghĩa nào nó trả lời câu hỏi hiện tại? Nó không phải là lớp nhỏ nhất có thể tưởng tượng được$\mathsf{CFL}$và được đóng cửa dưới chủ nghĩa không điều kiện. Nhưng nó là một lớp rất nổi tiếng (ví dụ$\mathsf P$) và một mô hình máy tự nhiên, đã được nghiên cứu kỹ lưỡng trong quá khứ và vẫn được nghiên cứu cho đến ngày nay (với một hạn chế thời gian chạy bổ sung) trong bối cảnh của LogCFL . Thật vậy, LogCFL cũng bị đóng cửa theo thuyết không điều kiện và gần hơn$\mathsf P$ đến $\mathsf{CFL}$, chứng minh quan điểm của tôi rằng ở trên (nghĩa là $\mathsf P$ = = $\log n$-AuxPDA) không phải là lớp nhỏ nhất có thể tưởng tượng được của loại này.