Làm thế nào để xây dựng cổng XOR chỉ bằng 4 cổng NAND?

xorcổng, bây giờ tôi cần xây dựng cổng này chỉ bằng 4 nandcổng

a b out
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

các xor = (a and not b) or (not a and b), đó là

Tôi biết câu trả lời nhưng làm thế nào để có được sơ đồ cổng từ công thức?

BIÊN TẬP

Ý tôi là theo trực giác, với tôi, tôi nên lấy cái này nếu tôi làm từng bước theo định nghĩa xor = (a and not b) or (not a and b).

và xorsẽ được xây dựng với 5 nandcổng (hình ảnh số 1 đầu tiên bên dưới)

Câu hỏi của tôi giống như: hãy tưởng tượng người đầu tiên trong lịch sử tìm ra công thức này, làm thế nào anh ta hoặc cô ta (quá trình suy nghĩ) có thể nhận được 4 nandgiải pháp từ công thức này, từng bước một.

Từ công thức đó? Nó có thể được thực hiện. Nhưng nó dễ dàng hơn để bắt đầu với cái này: (sử dụng một ký hiệu khác ở đây)

a ^ b = ~(a & b) & (a | b)

Ok, bây giờ thì sao? Cuối cùng, chúng ta nên rút ra ~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))(có vẻ như nó có 5 NAND, nhưng giống như sơ đồ mạch, nó có một biểu thức phụ được sử dụng hai lần).

Vì vậy, hãy tạo ra một cái gì đó trông giống ~(a & b) & a(và tương tự nhưng bở cuối) và hy vọng rằng nó sẽ dính xung quanh: ( andphân phối hơn or)

(~(a & b) & a) | (~(a & b) & b)

Bây giờ khá gần, chỉ cần áp dụng DeMorgan để biến phần giữa đó orthành and:

~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))

Và đó là nó.

Tôi nghĩ rằng bạn đang yêu cầu bằng chứng này:

A^B = (!A)B + A(!B)
    = !!((!A)B) + !!(A(!B))
    = !(!!A + !B) + !(!A + !!B)
    = !(A + !B) + !(!A + B)
    = !((A + !B)(!A + B))
    = !(A(!A) + AB + (!A)(!B) + B(!B))
    = !(AB + (!A)(!B))
    = !(AB)(!(!A)(!B))
    = !(AB)(!!A + !!B)
    = !(AB)(A+B)
    = !(AB)A + !(AB)B
    = !!(!(AB)A + !(AB)B)
    = !((!(!(AB)A))(!(!(AB)B)))

Mặc dù rõ ràng có 5 NANDgiây được sử dụng trong phương trình kết quả, nhưng trùng lặp !(AB)sẽ chỉ được sử dụng một lần khi bạn thiết kế mạch của nó.

Vì bạn đã có câu trả lời sơ đồ, dễ dàng có sẵn từ wikipedia bằng cách nhập tiêu đề câu hỏi của bạn vào Google, dưới dạng sơ đồ .png giống hệt với bạn, bạn có thể dễ dàng tìm thấy công thức bằng cách trích xuất từ ​​sơ đồ đó. Với NAND định nghĩa như $\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}\;$:

• Cổng tận cùng bên trái cho ;$C=\overline{AB}$

• Cổng đầu cho ;$D_1=\overline{AC}$

• Cổng đầu cho , như NAND là commutatve như AND;$D_2=\overline{BC}$

• Cổng ngoài cùng bên phải cung cấp cho .$E=\overline{D_1D_2}$

Đặt tất cả lại với nhau, trước tiên chúng tôi lưu ý rằng

$C=\overline{AB}=\overline A+\overline B$

$\begin{align} \overline{D_1}&=AC\\ &=A(\overline A+\overline B)\\ &=A\overline A+A\overline B\\ &=0+A\overline B\\ &=A\overline B\\ \end{align}$

Tương tự như vậy: $\overline{D_2}=B\overline A$

Do đó
$\begin{align} E&=\overline{D_1D_2}\\ &=\overline{D_1}+\overline{D_2}\\ &=A\overline B + B\overline A \end{align}$

Đó chính xác là định nghĩa của XOR. Bạn chỉ có thể đảo ngược tất cả điều này nếu bạn muốn bắt đầu từ dữ liệu ban đầu của mình, thay vì chỉ kiểm tra câu trả lời.

Tìm câu trả lời không có kiến ​​thức trước

Điều này nhằm trả lời yêu cầu rõ ràng, được thêm dưới dạng chỉnh sửa cho câu hỏi, để tìm cách giải quyết từ đầu. Cho rằng câu hỏi là về một quá trình suy nghĩ, tôi đang cung cấp tất cả các chi tiết.

Tôi sẽ cố gắng dựa vào các ràng buộc của vấn đề (chỉ có 4 cổng NAND) và đối xứng của nó giữa và B có thể được bảo tồn trong giải pháp.$A$$B$

Một điều tôi biết (giả sử các luồng thông tin từ trái sang phải như trong sơ đồ câu hỏi) là phải có một cổng NAND bìa phải sản sinh ra câu trả lời mong muốn $\text{XOR}(A,B)=A\overline B + B\overline A\;$.

Vì vậy, chúng ta có thể cố gắng đoán loại đầu vào nào cho cổng này sẽ tạo ra đầu ra mong muốn.

Chúng tôi biết rằng $\text{NAND}(X,Y)=\overline{XY}= \overline X+\overline Y\;$

Thống nhất công thức cuối cùng này với kết quả chúng tôi phải nhận, chúng tôi có được:

• $\overline X=A\overline B\;$, Do đó $X=\overline{A\overline B}=\overline A+B\;$.

• và đối xứng $Y=\overline{\overline A B}=A+\overline B\;$.

Lưu ý rằng đây chỉ là khả năng đơn giản nhất. Có các cặp đầu vào khác sẽ cho kết quả mong muốn, bởi vì chúng tôi không thống nhất trong một đại số miễn phí, vì NAND có các thuộc tính phương trình. Nhưng chúng tôi thử điều đó để bắt đầu.

$X$$Y$$A$$B$

Chúng tôi có thể cố gắng lặp lại quy trình hợp nhất (tôi đã làm), nhưng điều này sẽ tự nhiên dẫn chúng tôi sử dụng bốn cổng nữa, từ đó đưa ra giải pháp 5 cổng.

$X$$Y$$Z$$A$$B$

Cho rằng chúng tôi phải cung cấp đối xứng cho và $X$$Y$$Z$$A$$B$$A$$B$

$A$$B$

$Z=\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}= \overline A+\overline B\;$

Bây giờ, chúng ta phải kiểm tra xem kết hợp $Z$$A$$B$$X$$Y$

$A$$B$

Thật dễ dàng để kiểm tra rằng

$\begin{align} \text{NAND}(Z,A)&=\overline{ZA}\\ &=\overline{\overline{AB}\;A}\\ &=\overline{(\overline A+\overline B)\;A}\\ &=\overline{\overline AA+\overline BA}\\ &=\overline{0+\overline BA}\\ &=\overline{\overline BA}\\ &=\overline{A\overline B}\\ &=X \end{align}$

$\text{NAND}(Z,B)=Y$

Do đó chúng ta có thể kết hợp bốn cổng này để có được kết quả mong muốn, tức là hàm XOR.

$(0,0)$

$\text{XOR}$$\text{NAND}(0,0) = 1$

• $\text{NAND}$$\text{NAND}(1,1) = 0$

  • $\text{NAND}(0,1) = 1$$\text{NAND}(1,0) = 1$$\text{NAND}(0,0)$$\text{NAND}$.

Chỉ có bốn $\text{NAND}$s có liên quan. Nhưng nó chỉ đúng cho đầu vào$(0,0)$cho đến nay. Vì vậy, bạn cần kiểm tra đầu vào khác$(0,1), (1,0),$ và $(1,1)$chống lại các giải pháp và thấy rằng nó chỉ hoạt động. May mắn.

Tôi đã cố gắng hết sức để đưa ra câu trả lời bằng cách sử dụng công thức như đã hỏi. Hy vọng bạn đánh giá cao nó.
Z = AB '+ A'B
Z = AA' + AB '+ BB' + A'B ---> BB '= AA' = 0
Z = A (A '+ B') + B (B '+ A ')
Z = A (AB)' + B (AB) '-> Gợi ý
để bây giờ (AB)' có thể đi qua cổng NAND thứ nhất, sau đó ở cổng NAND thứ 2 và thứ ba, đầu ra của cổng NAND thứ nhất đi qua với một trong đầu vào là A và B. Sau đó, chúng ta cần thêm một bổ sung để sử dụng cổng NAND thứ tư.
NAND (thứ 1) = (AB) '= A' + B '
NAND (thứ 2) = (A (AB)') '= (A (A' + B '))' = (AB ')' = A '+ B
NAND (thứ 3) = (B (AB) ')' = (B (A '+ B')) '= (A'B)' = A + B '
NAND (thứ 4) = [(A' + B) (A + B ')]' = [A'B '+ AB]' = (A + B) (A '+ B') = AB '+ A'B

Vui mừng!

Công thức: XOR = (a và không b) hoặc (không phải a và b).

Đó không phải là những gì bạn muốn, bạn muốn một công thức là NAND. Hãy nhớ rằng không (a hoặc b) = không phải a và không b, và do đó (a hoặc b) = không (không phải a và không b). vì thế

(a và không b) hoặc (không phải a và b) =

không (không (a và không b) và không (không phải a và b)) =

không ((không phải a hoặc b) và (a hoặc không b)) =

NAND (không phải a hoặc b, a hoặc không b).

Vì vậy, chúng tôi đã sử dụng một cổng NAND và phải tính toán (không phải a hoặc b) và (a hoặc không b) bằng ba NAND. Chúng tôi biến mỗi biểu thức thành một NAND:

không phải a hoặc b = không (a và không b) = NAND (a, không phải b)

a hoặc không b = không (không phải a và b) = NAND (không phải a, b)

Bây giờ chúng ta quan sát rằng (x và y) = x và (không phải x hoặc y): Nếu x sai thì cả hai bên đều sai. Nếu x đúng thì (không phải x hoặc y) = (false hoặc y) = y. Điều này đúng với NAND giống như đúng với AND. vì thế

NAND (a, không phải b) = NAND (a, không phải a hoặc không b) = NAND (a, NAND (a, b))

NAND (b, không phải a) = NAND (b, không phải b hay không a) = NAND (b, NAND (a, b)).

Vì vậy, trước tiên chúng ta tìm mid = NAND (a, b), left = NAND (a, mid) và right = NAND (b, mid), cuối cùng là XOR = NAND (trái, phải).

* Từ trái sang phải - D1, D2, D3, D4 ** D1 = (AB) 'HOẶC (A' + B ')

giả sử

(AB) '= C

Đ2 = (AC) '= A' + C '

D3 = (BC) '= B' + C 'rồi

D4 = (D2.D3) '

D4 = ((AC) '. (BC)') '

D4 = (AC) '' + (BC) ''

D4 = (AC) + (BC)

D4 = A. (A '+ B') + B. (A '+ B')

D4 = AB '+ BA' {A.A '= B.B' = 0} **