NP-XOR-SAT có trọng số không?

Được $n$ biến boolean $x_1,\ldots,x_n$ mỗi trong số đó được chỉ định một chi phí tích cực $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{Z}_{>0}$ và một hàm boolean $f$ trên các biến được đưa ra trong mẫu

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = ⋀_{i = 1}^{k} ⨁_{j = 1}^{l_{i}} x_{r_{i j}}

$f(x_1,\ldots,x_n)=\bigwedge_{i=1}^k\bigoplus_{j=1}^{l_i}x_{r_{ij}}$ (

\oplus

$\oplus$ biểu thị XOR) với

k \in Z_{> 0}

$k\in\mathbb{Z}_{>0}$ , số nguyên

1 \leq l_{i} \leq n

$1\leq l_i\leq n$ và

1 \leq r_{i 1} < \dots < r_{i l_{i}} \leq n

$1\leq r_{i1}<\cdots<r_{il_i}\leq n$ cho tất cả

i = 1, \dots, k

$i=1,\ldots,k$ ,

j = 1, \dots, l_{i}

$j=1,\ldots,l_i$ , vấn đề là tìm một sự phân công chi phí tối thiểu cho

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$ thỏa mãn

f

$f$ , nếu một nhiệm vụ như vậy tồn tại. Chi phí của một bài tập được đưa ra đơn giản bởi

\sum_{\begin{matrix} i \in {1, \dots, n} \\ x_{i} true \end{matrix}} c_{i} .

$\sum_{\substack{i\in\{1,\ldots,n\}\\x_i\,\text{true}}}c_i.$ Có phải vấn đề này NP-hard, có nghĩa là, là vấn đề quyết định đi kèm "Có sự phân công thỏa đáng về chi phí ở một số giá trị không

K

$K$ "NP-cứng?

Bây giờ, bài toán XOR-SAT tiêu chuẩn nằm ở P, vì nó ánh xạ trực tiếp đến câu hỏi về khả năng thanh toán của một hệ phương trình tuyến tính trên $\mathbb{F}_2$ (xem, ví dụ: https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_satisfabilities_probols#XOR-satisfisf ). Kết quả của giải pháp này (nếu nó tồn tại) là một không gian con affine của $\mathbb{F}_2^n$ . Do đó, vấn đề được giảm để chọn phần tử tương ứng với chi phí tối thiểu từ không gian con đó. Than ôi, không gian con đó có thể khá lớn, và thực sự, viết lại $f$ trong nhị phân $k\times n$ hình thức -matrix, với một $1$ cho mỗi $x_{r_{ij}}$ tại $i$ hàng thứ và $r_{ij}$ cột thứ 0 và bằng không, chúng ta gặp vấn đề giảm thiểu chi phí theo

A x = 1,

$Ax=1,$ Ở đâu

A

$A$ được nói là ma trận,

x

$x$ là vectơ cột bao gồm

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$ và

1

$1$ là vectơ tất cả 1. Đây là một ví dụ của một vấn đề lập trình tuyến tính nhị phân, được biết đến là NP-hard nói chung. Vì vậy, câu hỏi là, NP-hard trong trường hợp cụ thể này là tốt?

— Alexander Klauer
nguồn

Một kết quả cổ điển của Berlekamp, McEliece và van Tilborg cho thấy vấn đề sau đây, giải mã khả năng tối đa, là NP-đầy đủ: đưa ra một ma trận $A$ và một vectơ $b$ kết thúc $\mathbb{F}_2$ và một số nguyên $w$ , xác định xem có một giải pháp để $Ax = b$ với trọng lượng Hamming nhiều nhất $w$ .

Bạn có thể giảm vấn đề này cho vấn đề của bạn. Hệ thống $Ax = b$ tương đương với sự kết hợp của các phương trình của hình thức $x_{i_1} \oplus \cdots \oplus x_{i_m} = \beta$ . Nếu $\beta = 1$ , phương trình này đã có dạng đúng. Nếu $\beta = 0$ sau đó chúng tôi XOR một biến phụ $y$ phía bên tay phải, và sau đó chúng ta buộc biến này là $1$ bằng cách thêm một phương trình phụ $y = 1$ . Chúng tôi xác định các trọng số như sau: $y$ có trọng lượng $0$ , và $x_1$ có trọng lượng $1$ . Bây giờ chúng tôi đã đạt đến một công thức tương đương của giải mã khả năng tối đa là một ví dụ của vấn đề của bạn.

— Yuval Filmus
nguồn