Mô hình đồ thị định hướng ngẫu nhiên này đã được nghiên cứu chưa?

Youtube gần đây đã thêm một tính năng gọi là tự động phát, trong đó mỗi clip được gán một clip (có lẽ liên quan) theo sau nó. Điều này, về hiệu quả, xác định một biểu đồ có hướng trên tập hợp các clip youtube, trong đó mỗi đỉnh có hiệu lực vượt trội 1. Người dùng bắt đầu ở một đỉnh của sự lựa chọn của mình và đi dọc theo biểu đồ này.

Điều này khiến tôi suy nghĩ. Vì đồ thị là hữu hạn, cuối cùng người dùng sẽ bị kẹt trong một vòng lặp. Mỗi vòng lặp hoạt động như một bồn rửa, và mỗi đỉnh cuối cùng sẽ dẫn người dùng đến một số chìm. Điều này đặt ra một số câu hỏi - có bao nhiêu bồn rửa? Cần bao nhiêu bước trước khi người dùng đến vòng lặp? Sự phân bố của các kích thước chìm là gì? Và như thế.

Đây là một mô hình đồ thị ngẫu nhiên có thể được sử dụng để mô hình hóa quá trình này: Đối với mỗi đỉnh chúng tôi chọn một người hàng xóm độc thân thống nhất một cách ngẫu nhiên và thêm cạnh đến đồ thị. Thật thú vị khi điều tra các thuộc tính của mô hình này và để xem liệu họ có thể dạy chúng tôi bất cứ điều gì về mạng Youtube hay không. Mọi người đã nhìn vào loại điều này trước đây?$v$$w$$(v,w)$

điều này có thể hơi bất ngờ nhưng đúng vậy, điều này đã được nghiên cứu trong ít nhất một bối cảnh cụ thể: PRNGs . PRNG có thể được hiển thị dưới dạng biểu đồ có hướng, cụ thể là biểu đồ chức năng (tất cả các đỉnh, ngoại lệ đơn) của "giá trị hiện tại, giá trị tiếp theo". tuy nhiên hầu hết các PRNG được thiết kế để có một chu kỳ rất dài. có một số phân tích về PRNG với nhiều chu kỳ nhúng. ví dụ:

• Máy tạo số ngẫu nhiên hỗn loạn với độ dài chu kỳ ngẫu nhiên / sương mù

cũng có một số lý thuyết về phát hiện chu kỳ, ví dụ thuật toán Rùa / thỏ và Brents. không tìm thấy các bối cảnh khác trong đó các đồ thị chức năng "ngẫu nhiên" được nghiên cứu. lưu ý định nghĩa của bạn không đảm bảo rằng các đỉnh được kết nối, không chắc chắn nếu đó là những gì bạn dự định. sẽ có một số lý thuyết về việc phải đặt bao nhiêu cạnh trước khi các đồ thị bị ngắt kết nối riêng biệt được kết nối. Erdos đã nghiên cứu trong lĩnh vực này với các đồ thị vô hướng trên mô hình Erdos-Renyi và nổi tiếng là một trong những khám phá ban đầu về sự chuyển pha trong lý thuyết toán học rời rạc. các đồ thị chức năng ngẫu nhiên mà bạn mô tả có thể được coi là một phiên bản chuyên biệt của mô hình Erdos Renyi .

Rất dễ dàng để nói điều gì đó về độ dài dự kiến ​​trước khi bạn bị mắc kẹt trong một vòng lặp: nếu có $n$ video, nó sẽ (bắt đầu từ một video ngẫu nhiên) sẽ được mong đợi $\Theta(\sqrt{n})$ video trước khi bạn lặp lại (giá trị thực tế là xung quanh $1.25\sqrt{n}$). Đây thực sự là vấn đề sinh nhật, vì mỗi lần bạn vẽ một video ngẫu nhiên.

Vì mỗi video trong chuỗi $\Theta(\sqrt{n})$ video cũng có khả năng là video bạn lặp lại, độ dài trung bình của vòng lặp cũng là $\Theta(\sqrt{n})$ video (giá trị thực tế $0.625\sqrt{n}$).

Điều này mang lại độ dài dự kiến ​​của vòng lặp mà bạn kết thúc sau khi bắt đầu từ một video ngẫu nhiên. Điều này có nghĩa là một vòng lặp có nhiều video dẫn đến nó được tính mạnh hơn. Nếu thay vào đó bạn muốn biết độ dài dự kiến ​​của một vòng lặp nếu bạn chọn một vòng lặp ngẫu nhiên, thì điều này có thể được tìm thấy là$T(1)$, Ở đâu

và $T(n)=\frac{n+1}{2}$. Tính toán các giá trị của$T$ về mặt thực nghiệm, nó có vẻ phù hợp với $0.625\sqrt{n}$, vì vậy cả hai cách tính độ dài vòng lặp dự kiến ​​là như nhau.

Tính toán số lượng chu kỳ dự kiến ​​dường như là một vấn đề khó khăn hơn. Chúng tôi bắt đầu bằng cách đếm số chu kỳ dự kiến ​​của một độ dài nhất định. Có lẽ một nút là một phần của chu kỳ 1 chiều dài là$\frac{1}{n}$, vì vậy có những kỳ vọng $1$chiều dài-1 chu kỳ. Xác suất mà một nút trong chu kỳ 2 chiều dài là$\frac{n-1}{n}\frac{1}{n}$, vì vậy có những kỳ vọng $\frac{1}{2}\frac{n-1}{n}$chiều dài-2 chu kỳ. Nói chung, số chu kỳ của chiều dài$l$ Là $\frac{1}{l}\Pi_{i=1}^{l-1} \frac{n-i}{n}$.

Chúng ta có thể có được một giới hạn trên thô về số lượng chu kỳ bằng cách xem xét $\Sigma_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n$ đó là $O(\log n)$. Thật không may, số lượng chu kỳ dường như không hội tụ$\log n$ vì vậy ràng buộc này không chặt chẽ.