Gần đây tôi đã nghe một sự tương tự thú vị nói rằng bằng chứng của Turing về tính không ổn định của vấn đề tạm dừng rất giống với nghịch lý thợ cắt tóc của Russell.

Vì vậy, tôi đã tự hỏi: các nhà toán học cuối cùng đã xoay sở để làm cho lý thuyết tập hợp nhất quán bằng cách chuyển từ công thức ngây thơ của Cantor sang một hệ tiên đề phức tạp hơn (lý thuyết tập hợp ZFC), đưa ra các loại trừ (hạn chế) quan trọng và bổ sung trên đường đi.

Vì vậy, có lẽ có thể thử và đưa ra một mô tả trừu tượng về tính toán tổng quát mạnh mẽ và biểu cảm hơn các máy Turing, và với đó người ta có thể có được bằng chứng tồn tại hoặc thậm chí là một thuật toán để giải quyết vấn đề tạm dừng cho một máy Turing tùy ý?

Bạn không thể thực sự so sánh. Lý thuyết tập hợp ngây thơ có những nghịch lý đã bị loại bỏ bởi lý thuyết tập hợp ZFC. Lý thuyết phải được cải thiện về tính nhất quán, vì một giả định cơ bản của công việc khoa học là tính nhất quán là có thể đạt được (lý do khác trở thành một công việc kinh doanh). Tôi cho rằng các nhà toán học dự kiến ​​nó phải có thể, và đã làm việc để giải quyết vấn đề.

Không có tình huống như vậy với lý thuyết tính toán và vấn đề tạm dừng. Không có nghịch lý, không có sự mâu thuẫn. Nó chỉ xảy ra rằng không có máy Turing nào có thể giải quyết vấn đề tạm dừng TM. Nó chỉ đơn giản là một định lý, không phải là một nghịch lý.

Vì vậy, có thể một số đột phá trong sự hiểu biết của chúng ta về vũ trụ sẽ dẫn đến các mô hình tính toán vượt ra ngoài những gì chúng ta có thể hình dung bây giờ. Sự kiện duy nhất như vậy, ở dạng rất yếu, vẫn còn trong vương quốc TM, có thể là điện toán lượng tử. Khác với ví dụ rất yếu này chạm vào độ phức tạp (mất bao lâu?) Thay vì tính toán (có khả thi không?), Tôi nghi ngờ bất kỳ ai trên hành tinh này có manh mối rằng khả năng tính toán vượt ra ngoài TM sẽ được mong đợi.

Hơn nữa, vấn đề tạm dừng là hậu quả trực tiếp của thực tế là các máy Turing có thể được mô tả bằng một đoạn văn bản hữu hạn, một chuỗi các ký hiệu. Điều này thực sự đúng với tất cả kiến ​​thức của chúng tôi (theo như chúng tôi biết), và đó là lý do tại sao bài phát biểu và sách rất quan trọng. Điều này đúng với tất cả các kỹ thuật của chúng tôi để mô tả bằng chứng và tính toán.

Vì vậy, ngay cả khi chúng tôi tìm cách mở rộng cách chúng tôi tính toán, hãy nói với các máy T +. Hoặc điều đó có nghĩa là chúng tôi đã tìm ra cách thể hiện kiến ​​thức ngoài việc viết tài liệu hữu hạn, trong trường hợp đó, toàn bộ điều đó nằm ngoài phạm vi quyền lực của tôi (tôi khẳng định sự bất tài tuyệt đối) và có lẽ là của bất kỳ ai khác. Hoặc nó vẫn có thể được thể hiện trong các tài liệu hữu hạn, trong trường hợp đó, nó sẽ có vấn đề tạm dừng riêng cho các máy T +. Và bạn sẽ được đặt câu hỏi một lần nữa.

Trên thực tế tình hình đó tồn tại ngược lại. Một số loại máy yếu hơn máy Turing, chẳng hạn như Máy tính Bounded Automata (LBA). Chúng khá mạnh, nhưng nó có thể được hiển thị chính xác như được thực hiện cho TM mà LBA không thể giải quyết vấn đề tạm dừng cho LBA. Nhưng TM có thể giải quyết nó cho LBA.

Cuối cùng, bạn có thể tưởng tượng các mô hình tính toán mạnh mẽ hơn bằng cách giới thiệu orory, đó là các thiết bị có thể đưa ra câu trả lời cho các vấn đề cụ thể và có thể được TM gọi để trả lời, nhưng không may là không tồn tại về mặt vật lý. TM mở rộng như vậy là một ví dụ điển hình của máy T + mà tôi đã xem xét ở trên. Một số trong số họ có thể giải quyết vấn đề tạm dừng TM (trừu tượng hóa, không thực tế), nhưng không thể giải quyết vấn đề Ngừng của chính họ, thậm chí là trừu tượng hóa.

Chà, bạn luôn có thể xem xét một máy Turing được trang bị một lời tiên tri cho vấn đề tạm dừng máy Turing thông thường. Đó là, máy mới của bạn có một cuộn băng đặc biệt, trên đó nó có thể viết mô tả của máy Turing thông thường và đầu vào của nó và hỏi xem máy đó có dừng trên đầu vào đó không. Trong một bước duy nhất, bạn nhận được câu trả lời và bạn có thể sử dụng câu đó để thực hiện tính toán thêm. (Không thành vấn đề dù chỉ trong một bước hay không: sẽ là đủ nếu nó được đảm bảo ở một số bước hữu hạn.)

Tuy nhiên, có hai vấn đề với phương pháp này.

1. Các máy Turing được trang bị một nhà tiên tri như vậy không thể quyết định vấn đề tạm dừng của riêng họ: Bằng chứng của Turing về tính không ổn định của vấn đề tạm dừng thông thường có thể dễ dàng được sửa đổi thành cài đặt mới này. Trên thực tế, có một hệ thống phân cấp vô hạn, được gọi là "Độ Turing", được tạo ra bằng cách cung cấp cho cấp độ tiếp theo của hệ thống phân cấp một lời tiên tri cho vấn đề tạm dừng của cấp độ trước.

2. Không ai từng đề xuất bất kỳ cách nào mà một nhà tiên tri như vậy có thể được thực hiện. Tất cả đều rất tốt như một thiết bị lý thuyết nhưng không ai biết cách chế tạo nó.

Ngoài ra, lưu ý rằng ZFC, theo một nghĩa nào đó, yếu hơn so với lý thuyết tập ngây thơ, không mạnh hơn. ZFC không thể diễn tả nghịch lý của Russell, trong khi lý thuyết tập hợp ngây thơ có thể. Như vậy, một sự tương tự tốt hơn sẽ là hỏi xem vấn đề tạm dừng có thể quyết định đối với các mô hình tính toán yếu hơn so với máy Turing hay không. Ví dụ, vấn đề tạm dừng đối với automata hữu hạn xác định (DFA) là có thể quyết định được, vì DFA được đảm bảo tạm dừng cho mọi đầu vào.

Cảnh báo: Một câu trả lời triết lý / không chặt chẽ

Điều này có thể có một chút "triết lý", nhưng tôi nghĩ rằng nó phù hợp với tinh thần của câu hỏi của bạn.

Một máy không lặp lại

Một góc cạnh của bằng chứng về vấn đề tạm dừng là máy Turing hoạt động giống như một chức năng: Đối với cùng một đầu vào, nó luôn cho cùng một đầu ra. Nếu bạn xóa thuộc tính này, bạn không phải đối phó với vấn đề tạm dừng "chung", theo nghĩa là máy có thể khám phá các thuộc tính của chính nó. Nhưng bạn cũng mất rất nhiều tính chất lý thuyết mong muốn của một máy như vậy.

Xóa thuộc tính

Nó hơi giống như đi từ lý thuyết tập hợp sang lý thuyết thể loại: Bạn mất đi một số "nghịch lý" bằng cách đánh mất những hạn chế. Nhưng kết quả là khó khăn hơn nhiều để xử lý.

Trong trường hợp này, điều đó có nghĩa là: Bạn sẽ không biết nếu máy đưa ra kết quả "chính xác". Ngay khi bạn luôn có thể quyết định kết quả nào là chính xác, bạn phải xử lý một số "vấn đề tạm dừng" bằng cách áp dụng máy cho chính nó và xây dựng một mâu thuẫn. Vì vậy, một máy như vậy có thể sẽ không hữu ích.

Vấn đề dừng không được xây dựng để thể hiện các hạn chế của Turing Machines, mà là để thể hiện giới hạn của tất cả các hệ thống logic có thể được biểu thị bằng số lượng ký hiệu hữu hạn. Khi một hệ thống logic có khả năng diễn đạt các giải pháp cho các vấn đề phức tạp nhất định, nó cũng sẽ có khả năng diễn đạt các vấn đề mà nó không thể giải quyết. Bất kỳ sự mở rộng nào của một hệ thống logic đủ để thể hiện các giải pháp cho tất cả các vấn đề mà nó không thể giải quyết trước đây cũng sẽ bao gồm khả năng diễn đạt các vấn đề mới mà nó không thể giải quyết.

Với bất kỳ đặc điểm kỹ thuật "Máy Turing cải tiến" cụ thể nào, có thể chỉ định "Máy Turing siêu cải tiến" có thể kiểm tra chương trình cho ETM và báo cáo xem có dừng hay không, nhưng SETM chỉ có thể phân tích các chương trình cho ETM - nó sẽ không thể phân tích các chương trình SETM. Không có cách nào để xác định một máy có thể tự phân tích các chương trình và xác định xem chúng có dừng hay không vì hành động thêm các tính năng mới sẽ tạo ra các yêu cầu mới cho máy tự phân tích và không có cách nào để làm cho các tính năng "bắt kịp" các yêu cầu .

Những máy như vậy đã được hình dung, và được gọi là máy siêu Turing . Một số lớp chính của máy siêu bền là

• Máy số thực (tức là máy tính tương tự)
• Máy Turing cho thời gian vô hạn
• Máy Turing không điều trị

Không phải tất cả các máy siêu turing đều có thể giải quyết vấn đề tạm dừng (đặc biệt là các máy turing không điều hòa, đặc biệt là không thể). Tuy nhiên, các máy móc khái niệm đã được tạo ra, ít nhất là trong các thí nghiệm suy nghĩ.