Các ví dụ đơn giản nhất về các chương trình mà chúng ta không biết liệu chúng có chấm dứt không?

Vấn đề tạm dừng nêu rõ không có thuật toán nào xác định xem chương trình đã cho có dừng hay không. Do đó, cần có các chương trình mà chúng tôi không thể biết liệu họ có chấm dứt hay không. Các ví dụ đơn giản nhất (nhỏ nhất) được biết đến của các chương trình như vậy là gì?

Một ví dụ khá đơn giản có thể là một chương trình kiểm tra phỏng đoán Collatz :

Nó được biết đến để dừng lại cho $n$ lên đến ít nhất $5 × 2^{60} ≈ 5.764 × 10^{18}$ , nhưng nhìn chung nó là một vấn đề mở.

Vấn đề tạm dừng nêu rõ không có thuật toán nào xác định xem chương trình đã cho có dừng hay không. Do đó, cần có các chương trình mà chúng tôi không thể biết liệu họ có chấm dứt hay không.

"Chúng tôi" không phải là một thuật toán =) Không có thuật toán chung nào có thể xác định liệu một chương trình đã cho có dừng lại cho mọi chương trình hay không .

Các ví dụ đơn giản nhất (nhỏ nhất) được biết đến của các chương trình như vậy là gì?

Hãy xem xét chương trình sau:

n = 3
while true:
    if is_perfect(n):
            halt()
    n = n + 2

Hàm is_perinf kiểm tra xem n có phải là một số hoàn hảo hay không . Không biết có bất kỳ số hoàn hảo kỳ lạ nào không, vì vậy chúng tôi không biết liệu chương trình này có dừng lại hay không.

Bạn viết:

Vấn đề tạm dừng nêu rõ không có thuật toán nào xác định xem chương trình đã cho có dừng hay không. Do đó, cần có các chương trình mà chúng tôi không thể biết liệu họ có chấm dứt hay không.

Đây là một phi sequitur, theo cả hai hướng. Bạn chịu thua một ngụy biện phổ biến đáng để giải quyết.

$P$$P$$P$

Chỉ khi bạn yêu cầu thuật toán giải quyết vấn đề Dừng cho tất cả các chương trình, bạn mới có thể chỉ ra rằng không có thuật toán nào như vậy có thể tồn tại.

Bây giờ, biết rằng vấn đề Ngừng là không thể giải quyết được không có nghĩa là có bất kỳ chương trình nào không ai có thể chứng minh việc chấm dứt hoặc lặp lại. Ngay cả khi bạn không mạnh hơn máy Turing (chỉ là giả thuyết, không phải thực tế đã được chứng minh), tất cả những gì chúng ta biết là không một thuật toán / người nào có thể cung cấp bằng chứng như vậy cho tất cả các chương trình. Có thể có một người khác nhau có thể quyết định cho mỗi chương trình.

Một số bài đọc liên quan khác:

• Làm thế nào có thể quyết định liệu π$\pi$
• Sức mạnh tính toán của con người: Con người có thể quyết định vấn đề tạm dừng trên Turing Machines không?
• Thuật toán để giải quyết "Vấn đề dừng" của Turing
• Tổng hợp chương trình, tính quyết định và vấn đề tạm dừng
• Có thể giải quyết vấn đề tạm dừng nếu bạn có một đầu vào bị ràng buộc hoặc có thể dự đoán được không?
• Tại sao các hàm tổng số không được liệt kê?

Vì vậy, bạn thấy rằng câu hỏi thực tế của bạn (như được lặp lại dưới đây) không liên quan gì đến vấn đề tạm dừng có thể tính toán được không. Ở tất cả.

Các ví dụ đơn giản nhất (nhỏ nhất) được biết đến của [các chương trình chúng tôi không biết để tạm dừng hoặc lặp lại] là gì?

$S$

$\qquad\displaystyle g(n) = \begin{cases}1, &S \text{ true},\\ g(n+1), &\text{else}.\end{cases}$

Cấp, đây không phải là "tự nhiên".

1. Không nhất thiết là tất cả , nhưng "nhiều" trong một số ý nghĩa. Vô cùng nhiều, ít nhất.

Bất kỳ vấn đề mở nào liên quan đến sự tồn tại của một số có thuộc tính cụ thể đều dẫn đến một chương trình như vậy (chương trình tìm kiếm số đó). Ví dụ, lấy phỏng đoán Collatz; vì chúng tôi không biết có đúng không, chúng tôi cũng không biết liệu chương trình sau có chấm dứt hay không:

    n:=1;
    found:=false;
    while not found do
      s:={};
      i:=n;
      while i not in s do
        add i to s;
        if i even then i:=i/2 else i:=3i+1
      if 1 not in s then found:=true;
      n:=n+1  

Cho rằng vấn đề Busy Beaver không được giải quyết cho máy Turing 5 trạng thái 2, phải có máy Turing chỉ có năm trạng thái và chỉ có hai biểu tượng chưa được hiển thị để dừng hoặc không hiển thị khi băng bắt đầu trống . Đó là một chương trình rất ngắn, súc tích và khép kín.

câu hỏi rất khó bởi vì tính quyết định (chính thức hóa / khái quát hóa tương đương CS của vấn đề tạm dừng) có liên quan đến các ngôn ngữ nên nó cần được làm lại theo định dạng đó. điều này dường như không được chỉ ra nhiều, nhưng nhiều vấn đề mở trong toán học / CS có thể dễ dàng chuyển đổi thành các vấn đề (ngôn ngữ) không xác định được. điều này là do sự tương ứng chặt chẽ giữa việc chứng minh định lý và (un) phân tích tính quyết định. ví dụ (hơi giống câu trả lời khác với các số hoàn hảo lẻ), lấy giả thuyết số nguyên tố sinh đôi có từ thời Hy Lạp (hơn 2 milimet trước) và chịu sự tiến bộ lớn của nghiên cứu gần đây, ví dụ như Zhang / Tao. chuyển đổi nó thành một vấn đề thuật toán như sau:

Đầu vào: n . Đầu ra: Y / N tồn tại ít nhất n số nguyên tố sinh đôi.

thuật toán tìm kiếm các số nguyên tố sinh đôi và dừng lại nếu nó tìm thấy n của chúng. nó không được biết nếu ngôn ngữ này là quyết định. giải quyết vấn đề số nguyên tố sinh đôi (hỏi xem có số hữu hạn hay số vô hạn) cũng sẽ giải quyết tính quyết định của ngôn ngữ này (nếu nó cũng được chứng minh / phát hiện có bao nhiêu số, nếu là hữu hạn).

một ví dụ khác, lấy giả thuyết Riemann và xem xét ngôn ngữ này:

Đầu vào: n . Đầu ra: Y / N tồn tại ít nhất n số 0 không cần thiết của hàm Riemann zeta.

thuật toán tìm kiếm các số 0 không cần thiết (mã không đặc biệt phức tạp, tương tự như tìm kiếm gốc và có các công thức tương đương khác tương đối đơn giản, về cơ bản tính tổng "chẵn lẻ" của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn x vv) và tạm dừng nếu nó tìm thấy n trong số chúng và một lần nữa, không biết ngôn ngữ này có thể quyết định được không và độ phân giải "gần như" tương đương với việc giải quyết phỏng đoán Riemann.

Bây giờ, làm thế nào về một ví dụ thậm chí ngoạn mục hơn? (hãy cẩn thận, có lẽ cũng gây tranh cãi hơn)

Đầu vào: c: Đầu ra: Y / N tồn tại thuật toán O (n ^c ) cho SAT.

tương tự, độ phân giải của độ phân giải của ngôn ngữ này gần tương đương với bài toán P vs NP . tuy nhiên có ít trường hợp rõ ràng hơn cho mã "đơn giản" cho vấn đề trong trường hợp này.

$1 ≤ n ≤ 10^{50}$

$10^{20}$