Hoạt động sao Kleene trên ngôn ngữ trống

Trong cuốn sách văn bản của tôi nó được đề cập rằng: nơi là một ngôn ngữ trống rỗng. $\emptyset^*=\{\epsilon\}$ $\emptyset$

Tuy nhiên, chúng ta biết rằng , nơi là bất kỳ ngôn ngữ. $L \cdot \emptyset = \emptyset$ $L$

Tôi không thể bằng trực giác nắm bắt khái niệm này bởi vì các điểm sao hoạt động Kleene đối với thực tế là . $\emptyset^*=\emptyset^0 \cup \emptyset^1 \cup \emptyset^2 \cup \cdots$

Vậy tại sao là không bằng để ? $\emptyset^*$ $\emptyset$

formal-languages kleene-star

— Sagnik
nguồn

Xem câu trả lời này . Về cơ bản, đối với bất kỳ tập không rỗng

cho tính nhất quán của công thức

. Điều này được mở rộng cho trường hợp khi

là phần mở rộng tự nhiên hơn. Đây là sự lựa chọn thông thường trong bán nhẫn. Phần còn lại theo định nghĩa của ngôi sao Kleene.

W

$W$

W^{0} = \emptyset

$W^0=\emptyset$

W^{x} W^{y} = W^{x + y}

$W^xW^y=W^{x+y}$

W = \emptyset

$W=\emptyset$

— babou

Tuy nhiên, đối với các số,

không được xác định, chủ yếu là do các vấn đề liên tục khi tôi nhớ lại, mặc dù thường có thể thuận tiện để xác định nó bằng

. Xem

0^{0}

$0^0$

1

$1$

0^{0}

$0^0$

— babou

Đơn giản bởi vì

cho tất cả , theo định nghĩa.

ε \in L^{0} = {ε}

$\varepsilon \in L^0 = \{\varepsilon\}$ $L$

— Raphael

@Raphael Vâng. Bạn có thể đặt nó theo cách đó. Nhưng đó là tùy ý, afaik, khi

L = \emptyset

$L=\emptyset$ . Tôi có lẽ nên viết câu trả lời của tôi khác nhau. Tôi cố gắng quá nhiều để giải thích ,.

— babou

@babou Cuối cùng, mọi định nghĩa đều tùy ý. Một số định nghĩa là hữu ích, những người khác thì không. Imho, cố gắng tìm trực giác trong các định nghĩa là cơ bản vì điều này hiếm khi hữu ích, và đôi khi có hại.

— Raphael

Câu trả lời:

Nếu bây giờ bạn xem xét sức mạnh của ngôn ngữ bạn có Nếu bạn muốn điều này nhất quán trên , tức là các số nguyên không âm, bạn phải xác định . Nếu bạn mất nó được bạn sẽ phải bao gồm, trong số những người khác, cho $W$ $W^xW^y=W^{x+y}$ $\mathbb N_0$ $W^0=\{\epsilon\}$ $\emptyset$ $W^x=W^{x+0}=W^xW^0=W^x\emptyset=\emptyset$ . Như vậy chúng ta sẽ có cho bất kỳ . Do đó, điều này rõ ràng là không nhất quán. Một sự không nhất quán tương tự phát sinh cho bất kỳ lựa chọn nào khác ngoài , đó là danh tính cho sự kết hợp ngôn ngữ. $x=1$ $W^1=W=\emptyset$ $W$ $\{\epsilon\}$

Do đó, định nghĩa thống nhất chỉ nhất quán của cho một tổ chức phi trống bộ là . $W^0$ $W$ $W^0=\{\epsilon\}$

Đó là sau đó thuận tiện để mở rộng định nghĩa đối với trường hợp khi như . $W=\emptyset$ $\emptyset^0=\{\epsilon\}$

Đây chỉ là một định nghĩa phù hợp và thuận tiện, thường áp dụng trong bán nhẫn nhưng nó không thể được chứng minh, không giống như trường hợp thw khi nơi không có định nghĩa phù hợp khác. $W\neq\emptyset$

Tuy nhiên, các định nghĩa khác sau đó phải được đưa ra một cách nhất quán, ngụ ý rằng

\begin{aligned} \emptyset^{*} & = \emptyset^{0} \cup \emptyset^{1} \cup \emptyset^{2} \cup \dots \\ = {ϵ} \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \dots \\ = {ϵ} \end{aligned}

$\begin{align} \emptyset^*&=\emptyset^0\cup\emptyset^1\cup\emptyset^2\cup\ldots \\ &=\{\epsilon\}\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\ldots\\ &=\{\epsilon\} \end{align}$

Chủ đề được thảo luận trên nhiều trang web. Trong trường hợp nửa vòng số (thiếu độ chính xác là có chủ ý), điều này được thảo luận ở độ dài trên trang này: Không với công suất 0 - Có không? $0^0=1$ .

Vòng bán kết của các ngôn ngữ được mô tả trong câu trả lời này .

— bé yêu
nguồn

Câu trả lời này đã xóa tan mọi nghi ngờ của tôi. Và các liên kết là tuyệt vời.

— Sagnik

Nối của zero lời từ là từ rỗng , vì vậy . Tổng quát hơn, đối với một ngôn ngữ , ngôi sao Kleene bao gồm tất cả các từ ghép của bất kỳ số lượng từ nào từ , bất kỳ số nào kể cả các từ không . $\emptyset$ $\epsilon$ $\epsilon \in \emptyset^*$ $L$ $L^*$ $L$

— Yuval Filmus
nguồn

Tôi đang tìm kiếm một lời giải thích toán học hơn bởi vì tôi không thể có được sự hiểu biết trực quan về khái niệm "ghép từ không". Tuy nhiên sau khi đọc câu trả lời của @ babou và câu trả lời này, mọi nghi ngờ của tôi đã được giải tỏa. Cảm ơn bạn.

— Sagnik

"... đối với một ngôn ngữ L, ngôi sao Kleene L * bao gồm tất cả các từ ghép của bất kỳ số lượng từ L, bất kỳ số nào bao gồm các từ không" Ở đây, làm thế nào số lượng từ không có nghĩa là eplison? epsilon là một từ, vậy làm thế nào chúng ta có thể nói rằng số lượng từ không bao gồm epsilon? Xin hãy sửa cho tôi.

— Palak Jain

Sự kết hợp của các từ không là yếu tố trung tính cho nối, đó là từ trống. Theo cách tương tự, tổng các phần tử bằng 0 bằng 0, tích của các phần tử bằng 0 là một, tập hợp các tập hợp số 0 là tập hợp trống, v.v.

— Yuval Filmus