Số lượng so sánh ít nhất cần thiết để sắp xếp (thứ tự) 5 yếu tố

Tìm số lượng so sánh ít nhất cần thiết để sắp xếp (thứ tự) năm yếu tố và đưa ra thuật toán sắp xếp các yếu tố này bằng cách sử dụng số lượng so sánh này.

Giải pháp : Có 5! = 120 kết quả có thể xảy ra. Do đó, một cây nhị phân cho thủ tục sắp xếp sẽ có ít nhất 7 cấp độ. Thật vậy, ≥ 120 ngụ ý≥ 7. Nhưng 7 so sánh là không đủ. Số lượng so sánh ít nhất cần thiết để sắp xếp (thứ tự) năm yếu tố là 8.$2^h$$h$

Đây là câu hỏi thực tế của tôi: Tôi đã tìm thấy một thuật toán thực hiện nó trong 8 so sánh nhưng làm thế nào tôi có thể chứng minh rằng nó không thể được thực hiện trong 7 so sánh?

Giải pháp là sai. Demuth [1; qua 2, giây. 5.3.1] cho thấy năm giá trị có thể được sắp xếp chỉ bằng bảy so sánh, nghĩa là giới hạn dưới "lý thuyết thông tin" bị ràng buộc chặt chẽ trong trường hợp này.

Câu trả lời là một phương thức phù hợp với , không phải là thuật toán chung. Nó cũng không đẹp lắm. Đây là phác thảo:$n=5$

1. Sắp xếp hai cặp đầu tiên.

2. Đặt hàng các cặp wrt phần tử lớn hơn tương ứng của họ.

   Gọi kết quả ; chúng ta biết và .$[a,b,c,d,e]$$a<b<d$$c<d$

3. Chèn vào .$e$$[a,b,d]$

4. Chèn vào kết quả của bước 3.$c$

Bước đầu tiên rõ ràng có hai so sánh, thứ hai chỉ có một. Hai bước cuối cùng có hai so sánh mỗi; chúng tôi chèn vào danh sách ba phần tử trong cả hai trường hợp (đối với bước 4., lưu ý rằng chúng tôi biết từ rằng nhỏ hơn phần tử cuối cùng của danh sách) và so sánh với phần tử ở giữa trước. Điều đó làm cho tổng cộng bảy so sánh.$c<d$$c$

Vì tôi không thấy cách viết mã giả "đẹp" này, hãy xem ở đây để biết cách triển khai thử nghiệm (và hy vọng có thể đọc được).

1. Bằng tiến sĩ. luận án (Đại học Stanford) của HB Demuth (1956)

   Xem thêm Sắp xếp dữ liệu điện tử theo HB Demuth (1985)

2. Sắp xếp và tìm kiếm bởi Donald E. Knuth; Nghệ thuật lập trình máy tính Vol. 3 (tái bản lần 2, 1998)

Lý thuyết thấp hơn ràng buộc về sắp xếp dựa trên so sánh là $\log(n!)$ . Điều đó có nghĩa là để sắp xếp $n$ mục chỉ sử dụng $<$ hoặc $>$ so sánh thì phải mất ít nhất logarit cơ sở 2 của $n!$, do đó $\log(5!) \approx 6.91$ hoạt động.

Kể từ $5!= 120$ và $2^7= 128$ , sử dụng cây quyết định nhị phân, bạn có thể sắp xếp 5 mục trong 7 so sánh. Cây chỉ ra chính xác trong số 120 hoán vị bạn có, sau đó thực hiện các giao dịch hoán đổi cần thiết để sắp xếp nó.

Đó không phải là mã đẹp hay ngắn và có lẽ bạn nên sử dụng các phương thức tạo mã để tạo cây quyết định và hoán đổi thay vì mã hóa bằng tay, nhưng nó hoạt động; và có thể hoạt động cho bất kỳ hoán vị có thể có của 5 mục, do đó chứng minh bạn có thể sắp xếp 5 mục trong không quá 7 so sánh.

tôi đã suy nghĩ quicksort. bạn chọn làm trục chính cho phần tử chỉ là phần tử ở giữa. so sánh trục với 4 mục còn lại dẫn đến hai cọc được sắp xếp. mỗi cọc có thể được sắp xếp trong 1 so sánh. trừ khi tôi đã phạm một sai lầm khủng khiếp, 5 mục đã được sắp xếp đầy đủ chỉ trong 6 so sánh và tôi nghĩ đó là số lượng so sánh tuyệt đối ít nhất cần thiết để thực hiện công việc. câu hỏi ban đầu là tìm ra số lượng so sánh ít nhất để sắp xếp 5 yếu tố.

Nếu bạn có thể kiểm tra thuật toán, hãy kiểm tra nó trên tất cả các tổ hợp số. Nếu bạn có nhiều số, hãy kiểm tra nhiều kết hợp ngẫu nhiên. Không chính xác, nhưng nhanh hơn tất cả các kết hợp.

Tối thiểu
a <b <c = 2
a <b <c <d = 3
a <b <c <d <e = 4

Tối đa
3 ^ 3
4 ^ 4
5 ^ 5

Chèn vào giữa sử dụng 3-6 cho 4 số.
Sáp nhập sử dụng 4-5 cho 4 số.
So sánh tối thiểu bởi wiki là 5 cho 4 số :) Với 5 là 7. Bạn sử dụng 8, vẫn còn rất nhiều.
https://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_sort#Number_of_comparisons_Vquired_to_sort_a_list
Nếu bạn biết tất cả trước khi so sánh, bạn có thể đi xuống so sánh. Trung bình của tôi cho 4 số là 3,96 / 1024 tất cả các kết hợp.