Tôi muốn hỏi chính xác mối quan hệ giữa các vấn đề và ngôn ngữ. Chúng tôi biết rằng tập hợp của tất cả các ngôn ngữ không thể đếm được. Là tập hợp các vấn đề cũng không thể đếm được? Mọi vấn đề có thể được xác định bởi một ngôn ngữ? Một ngôn ngữ có thể giải quyết nhiều hơn một vấn đề và ngược lại? Có sự tương ứng một-một giữa vấn đề và ngôn ngữ không?
Câu trả lời:
Vấn đề quyết định và ngôn ngữ chỉ là hai mặt của cùng một đồng tiền: mọi vấn đề đều có thể được xem xét lại là vấn đề thành viên của một số ngôn ngữ. Vấn đề của việc xác định xem một số có phải là số nguyên tố chính xác là vấn đề thành viên của ngôn ngữ của số nguyên tố hay không.
Chính thức, một ngôn ngữ là một tập hợp các chuỗi hữu hạn trên một số bảng chữ cái hữu hạn cố định (đôi khi, các chuỗi được phép là vô hạn; đó là một kịch bản khác nhau nhưng có liên quan). Các vấn đề không phải là câu hỏi trực tiếp về chuỗi sẽ cần được mã hóa thành chuỗi, vì vậy, ví dụ, việc viết câu cuối cùng của đoạn trước là chính xác hơn, "Nếu chúng ta sửa một bảng chữ cái và mã hóa các số tự nhiên như các chuỗi trên bảng chữ cái đó, vấn đề của việc xác định xem một số có phải là số nguyên tố chính xác là vấn đề thành viên của ngôn ngữ của các chuỗi mã hóa các số nguyên tố hay không. "
Để nhanh chóng chạy qua các câu hỏi con của bạn,
Chúng tôi biết rằng tập hợp của tất cả các ngôn ngữ không thể đếm được. Là tập hợp các vấn đề cũng không thể đếm được?
Vâng, vì các vấn đề và ngôn ngữ về cơ bản là giống nhau.
Mọi vấn đề có thể được xác định bởi một ngôn ngữ?
Vấn đề quyết định, có. Các vấn đề tối ưu hóa (X nhỏ nhất với thuộc tính Y) và các vấn đề đếm (có bao nhiêu X có thuộc tính Y) có thể được xem xét lại thành các vấn đề quyết định (Z có phải là X nhỏ nhất với thuộc tính Y không? đó thường không phải là cách tự nhiên nhất để đối xử với họ.
Một ngôn ngữ có thể giải quyết nhiều hơn một vấn đề và ngược lại?
Có sự tương ứng một-một giữa vấn đề và ngôn ngữ không?
Không, vì câu hỏi này chỉ là phần bổ sung của câu hỏi trước. :-)