Độ phức tạp Kolmogorov của nối chuỗi

Nếu là độ phức tạp Kolmogorov của chuỗi ,$K(s)$$s \in \{0,1\}^*$

Chúng ta có thể chứng minh (hoặc từ chối) câu lệnh sau:

"Mỗi chuỗi là tiền tố của một chuỗi không thể nén được, tức là với mỗi chuỗi tồn tại một chuỗi sao cho "? $s$$s$$r$$K(sr) \geq |sr|$

Theo một cách rất không chính thức (và có lẽ không quá ý nghĩa): chúng ta biết rằng ; nếu chúng ta chọn một chuỗi không thể nén đủ lớn , chúng ta có thể "sử dụng" để "che dấu" khả năng nén của chuỗi đã không?$K(r) \leq |r| + O(1)$$r$$O(1)$$s$

Một kết quả tương tự (nhưng khác nhau) là với bất kỳ , chúng ta có thể tìm thấy và sao cho:$c$$s$$r$$K(sr) > K(s) + K(r) + c$

Phỏng đoán của bạn là sai. Đối với một số hằng số , nó giữ rằng (bằng chứng: sử dụng máy Turing phổ dụng để tạo và sau đó ; bạn cần nhiều hơn để lưu trữ cả hai chương trình, mặc dù là quá mức cần thiết) . Do đó, nếu, phỏng đoán của bạn không giữ được. Chuỗi như vậy dễ dàng chắc chắn tồn tại, ví dụ .$C,D$$K(sr) \leq 2K(s) + K(r) + C \leq 2K(s) + |r| + D$$s$$r$$K(s)+K(r)$$2K(s)+K(r)$$2K(s) + D < |s|$$s$$K(0^n) = O(\log n)$