Có bất kỳ vấn đề dễ tính toán nhưng khó kiểm chứng?

Giả sử các vấn đề P NP, NP-đầy đủ là "khó giải quyết, nhưng có câu trả lời dễ kiểm tra". Liệu có ý nghĩa gì khi xem xét điều ngược lại, nghĩa là, các vấn đề dễ dàng tính toán một câu trả lời đúng, nhưng khó để xác minh một giải pháp có mục đích tùy ý? $\neq$

Tôi nghĩ một vấn đề như vậy cũng có nghĩa là:

Nhiều câu trả lời "đúng" theo cấp số nhân cho bất kỳ đầu vào cụ thể nào, bởi vì nếu không thì việc xác minh có thể được thực hiện bằng cách đơn giản là tính toán tất cả các câu trả lời đúng.
Một số câu trả lời "đúng" rất dễ tính toán, nhưng những câu khác thì khó tìm.

complexity-theory

— rphv
nguồn

Tôi nghi ngờ điều đó. Nếu một câu trả lời dễ tính toán, việc lựa chọn chứng chỉ rất dễ dàng: cung cấp câu trả lời có chủ đích cho vấn đề và "kiểm tra" câu trả lời bằng cách giải quyết vấn đề và xem câu trả lời có thực sự là câu trả lời hay không.

— Patrick87

@ Patrick87 - Tôi nghĩ rằng tôi đã giải quyết điều này trong câu hỏi. Những gì về một chức năng đa giá trị

cộng sự rằng một tập hợp các giá trị

với một đầu vào

? Giả sử rằng

, Và điều đó thật dễ dàng để chọn một phần tử từ

, nhưng với

thật khó để xác định xem

f

$f$

I_{f} (x) = {y_{1}, y_{2}, \dots}

$I_f(x) = \{y_1, y_2, \dots \}$

x

$x$

| I_{f} (x) | = 2^{| x |}

$|I_f(x)| = 2^{|x|}$

I_{f} (x)

$I_f(x)$

z

$z$

z \in I_{f} (x)

$z \in I_f(x)$

— rphv

@ Patrick87 Người giải có thể xác định và chỉ đưa ra một trong tất cả các câu trả lời hiện có. Sau đó, bạn cần một cách hiệu quả để kiểm tra xem hai giải pháp có tương đương nhau không. Có thể tương đương trên một tập hợp khó hơn giải quyết một vấn đề trên nó?

— Raphael

Tôi thực sự đã bỏ lỡ phần đó, xin lỗi. Tuy nhiên, tôi có xu hướng nghi ngờ tiền đề. Tôi sẽ nghĩ về nó nhiều hơn một chút và quay lại nếu tôi có những suy nghĩ thích hợp hơn.

— Patrick87

Một giấy chứng nhận thường có nghĩa là có một cách dễ dàng để tái tạo lại một bằng chứng, vì vậy theo định nghĩa nếu bạn cung cấp một chứng chỉ xác minh là dễ dàng. Một giải pháp mà không có chứng chỉ có thể khó khăn.

— Gilles 'SO- ngừng trở nên xấu xa'

Câu trả lời:

Nếu bạn ổn với các vấn đề nhân tạo, bạn có thể làm cho nhiều vấn đề. Ở đây có một ít:

Cho một số nguyên dương n trong unary, trả lời công thức 3CNF thỏa đáng trong n biến Boolean.
Đưa ra một công thức 3CNF thỏa đáng là điều dễ dàng, nhưng quyết định xem một công thức 3CNF nhất định có thỏa đáng hay không là 3SAT, một vấn đề NP-đầy đủ nổi tiếng.
Không có đầu vào. Chỉ cần trả lời một máy Turing dừng lại (khi chạy với một băng đầu vào trống).
Cho một máy Turing như vậy là dễ dàng, nhưng liệu một máy Turing cụ thể có dừng lại hay không là không thể.

Đã thêm : Nhân tiện, tôi không nghĩ rằng những gì bạn đã viết trong đoạn cuối giữ:

Tôi nghĩ rằng một vấn đề như vậy sẽ bao hàm nhiều câu trả lời "đúng" theo cấp số nhân cho bất kỳ đầu vào cụ thể nào, bởi vì nếu không thì việc xác minh có thể được thực hiện bằng cách đơn giản là tính toán tất cả các câu trả lời đúng.

Nếu vấn đề có một giải pháp, thì thực sự kiểm tra một câu trả lời không khó hơn việc tính toán giải pháp chính xác. Tuy nhiên, nếu vấn đề có một giải pháp dễ dàng và một giải pháp khó khăn, thì bạn không thể tính toán tất cả các giải pháp một cách hiệu quả. Đây là một vấn đề như vậy (rất giả tạo):

Với một máy Turing M , một trong những câu trả lời của các câu sau đó là sự thật: “ M tạm dừng trên băng đầu vào trống rỗng”, “ M không ngừng trên băng đầu vào trống rỗng,” và “ M là một máy Turing”.
Đưa ra một giải pháp được dễ dàng : bạn luôn có thể chọn Lốc M là máy Turing. Tuy nhiên, dù câu trả lời có chính xác hay không là không thể giải quyết được. Lưu ý rằng trong vấn đề này, chỉ có hai giải pháp cho mỗi trường hợp.

— Tsuyoshi Ito
nguồn

Có cách nào hợp lý để định nghĩa chính thức ý nghĩa của những vấn đề như vậy đối với những vấn đề như vậy không? (Theo hợp lý, có nghĩa là một cái gì đó mà chúng ta có thể đồng ý rộng rãi, như nói rằng một định nghĩa về tính toán có thể tính toán được nắm bắt trực giác của chúng ta về ý nghĩa của nó.)

— Gilles 'SO- ngừng trở nên xấu xa'

@Gilles: Không, tôi không nghĩ vậy. Tôi gọi những vấn đề này là nhân tạo, vì rất khó có ai đó gặp phải những vấn đề này trước và sau đó phát hiện ra rằng thật dễ dàng để đưa ra một câu trả lời và khó để quyết định tính chính xác của một ứng cử viên trả lời. Nhưng điều này nhân tạo của người Viking không phải là một khái niệm khắt khe.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi Ito - Cảm ơn bạn đã trả lời rõ ràng. Tôi đã chỉnh sửa đoạn cuối để phản ánh cái nhìn sâu sắc của bạn.

— rphv

Mặc dù câu trả lời của Tsuyoshi Ito bao gồm câu trả lời "chính", có hai ghi chú tinh tế hơn mà tôi muốn thêm vào.

Ngay cả khi giải pháp khó kiểm chứng, việc kiểm tra giải pháp vẫn dễ dàng kiểm tra bằng một chuỗi bằng chứng ngắn. Đó là, bằng cách mở rộng giải pháp một chút với thông tin bổ sung, nó trở nên dễ kiểm tra; việc xác minh luôn ở NP. Một cách để thấy điều này là tác nhân tính toán một giải pháp có thể ghi lại tất cả các bit ngẫu nhiên mà họ sử dụng, và sau đó trình xác minh có thể sử dụng cùng một chuỗi ngẫu nhiên đó để thực hiện cùng một tính toán. (Người hoạt động phải sử dụng các bit ngẫu nhiên, nếu không họ luôn đưa ra cùng một câu trả lời và người xác minh luôn có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách tính toán một câu trả lời theo cùng một phương thức.)
Đối với máy tính lượng tử, đây là một câu hỏi rất mở. Đối với máy tính cổ điển, trình xác minh luôn có thể làm một cái gì đó như mô phỏng người hoạt ngôn và kiểm tra xem họ có nhận được câu trả lời tương tự không. Hoàn toàn có thể đối với một số vấn đề khó khăn, có thuật toán lượng tử tạo ra phân phối đồng đều trên tất cả các giải pháp (theo cấp số nhân), rất khó để xác minh. Bạn không thể chạy lại câu tục ngữ, vì rất có thể bạn sẽ nhận được một câu trả lời khác nhau mỗi lần.

Như một ví dụ về một loại vấn đề tương tự, vấn đề tiếng Đức-Jozsa chịu đựng điều này một chút. Nếu một nhà tiên tri không phải là một chức năng cân bằng, thì một máy tính lượng tử có thể nhanh chóng xác định rằng đây là trường hợp, nhưng không có bằng chứng ngắn nào cho phép một máy tính cổ điển xác minh điều này. (Đây chỉ là một vấn đề "tương tự" vì nó vẫn có thể được kiểm tra bởi một máy tính lượng tử khác và việc kiểm tra cũng nằm trong BPP cổ điển ngay cả khi nó không ở P.)

— Alex Meiburg
nguồn