Cây Spanning tối thiểu với thông số trọng lượng gấp đôi

Xét một đồ thị $G(V,E)$ . Mỗi cạnh $e$ có hai trọng số $A_e$ và $B_e$ . Tìm một cây bao trùm là giảm thiểu các sản phẩm $\left(\sum_{e \in T}{A_e}\right)\left(\sum_{e \in T}{B_e}\right)$ . Thuật toán sẽ chạy trong thời gian đa thức đối với $|V|, |E|$.

Tôi thấy khó khăn để thích nghi với bất kỳ thuật toán truyền thống nào trên các cây bao trùm (Kruskal, Prim, Edge-Deletion). Làm thế nào để giải quyết nó? Có gợi ý nào không?

Tôi sẽ giả định rằng bạn không được cho các cạnh có trọng số âm, bởi vì điều này có thể không hoạt động nếu có trọng số âm.

Thuật toán

Đối với mỗi cạnh của bạn, hãy gắn nhãn đến $1$$n$

Đặt trọng số A của số cạnh $a_i$$i$

Đặt trọng số B của số cạnh $b_i$$i$

Vẽ lên bảng này

   |a_1 a_2 a_3 a_4 .. a_n
---+-------------------------
b_1|.........................
b_2|.........................
 . |.........................
 . |.........................
b_n|...................a_n * b_n

Với mỗi thành phần bảng là sản phẩm của hàng và cột.

Đối với mỗi cạnh, tính tổng hàng và cột của bảng có liên quan (và nhớ xóa phần tử trong giao điểm vì nó đã được tính tổng hai lần).

Tìm cạnh có tổng lớn nhất, xóa cạnh này nếu nó không ngắt kết nối đồ thị. Đánh dấu các cạnh là thiết yếu khác. Nếu một cạnh đã bị xóa, hãy điền vào các hàng và cột của nó bằng 0.

Đúng

Kết quả rõ ràng là một cái cây.

Kết quả rõ ràng là kéo dài vì không có đỉnh nào bị ngắt kết nối.

Kết quả là tối thiểu? Nếu có một cạnh khác mà việc xóa sẽ tạo ra một cây bao trùm nhỏ hơn ở cuối thuật toán, thì cạnh đó sẽ bị xóa và bị hủy trước. (nếu ai đó có thể giúp tôi thực hiện điều này một chút nghiêm ngặt hơn / và / hoặc ví dụ phản biện thì điều đó sẽ rất tuyệt)

Thời gian chạy

Rõ ràng là đa thức trong .$|V|$

biên tập

làkhôngmột ví dụ quầy.$(2,11), (11,2), (4,6)$

$a_1 = 2, a_2 = 11, a_3 = 4$

$b_1 = 11, b_2 = 2, b_3 = 6$

Sau đó

   | 2     11     4
---+--------------------
11 | 22    121    44
 2 | 4     22     8
 6 | 12    66     24

bị xóa.$(11,2)$

Kết thúc với $(2,11), (4,6) = 6 * 17 = 102$

Cây bao trùm khác là

$(11,2), (4,6) = 15 * 12 = 180$

$(2,11), (11,2) = 13 * 13 = 169$

Đây là giải pháp từ http://www.cnbloss.com/autsky-jadek/p/3959446.html .

Chúng ta có thể xem tất cả các cây bao trùm như một điểm trong máy bay, nơi x là tổng trọng lượng Σ e ∈ T Một e , y là tổng trọng lượng Σ e ∈ T B e . Mục tiêu là để giảm thiểu x y .$x-y$$x$$\sum_{e\in T}A_{e}$$\sum_{e\in T}B_{e}$$xy$

1. Tìm tối thiểu spanning tree theo trọng lượng và trọng lượng B . Vì vậy, chúng ta có hai điểm trong mặt phẳng xy Một , B . Trong tất cả các điểm cây bao trùm trong mặt phẳng, A có x tối thiểu ,$A$$B$$A,B$$A$$x$ có y tối thiểu.$B$$y$

2. Bây giờ chúng tôi nhắm đến việc tìm một điểm trong tam giác O A B có khoảng cách tối đa đến đường thẳng A B , để chúng tôi có thể giảm giá trị x y cho C cho tất cả các điểm trong tam giác$C$$OAB$$AB$$xy$$C$ .$ABC$

Vì $2S_{ABC}=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y})\times(C_{x}-A_{x},C_{y}-A_{y})=(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}-A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y})$

3. $A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y}$$(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}$$G^{\prime}=(V,E)$, while the weight $w(e)=B_{e}(B_{x}-A_{x})+C_{x}(A_{y}-B_{y})$. Now we run a maximum spanning tree on $G^{\prime}$ to get point $C$.

4. Run the above algorithm on $OBC, OAC$ recursively, until there is no more spanning trees between $BC,AC$ and $O$.

5. Now we get a set of possible spanning trees. Calculate $xy$ value for each tree to get the minimum tree.