Một số câu hỏi về tính toán song song và lớp NC

14

Tôi có một số câu hỏi liên quan về hai chủ đề này.

Đầu tiên, hầu hết các văn bản phức tạp chỉ phủ bóng lên lớp $\mathbb{NC}$ . Có một nguồn lực tốt bao gồm các nghiên cứu sâu hơn? Ví dụ, một cái gì đó thảo luận về tất cả các câu hỏi của tôi dưới đây. Ngoài ra, tôi cho rằngvẫn thấy một lượng nghiên cứu hợp lý do liên kết của nó với sự song song hóa, nhưng tôi có thể sai. Phần trong sở thú phức tạp không giúp được nhiều. $\mathbb{NC}$

Thứ hai, tính toán trên một nửa nhóm là trong $\mathbb{NC}^1$ nếu chúng ta giả sử hoạt động của nhóm bán kết mất thời gian không đổi. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu hoạt động không mất thời gian liên tục, như trường hợp số nguyên không giới hạn? Có bất kỳ vấn đề -complete nào đã biết không? $\mathbb{NC}^i$

Thứ ba, vì , có thuật toán nào để chuyển đổi bất kỳ thuật toán logspace nào thành phiên bản song song không? $\mathbb{L} \subseteq \mathbb{NC}^2$

Thứ tư, có vẻ như hầu hết mọi người đều cho rằng theo cùng một cách mà . Trực giác đằng sau này là gì? $\mathbb{NC} \ne \mathbb{P}$ $\mathbb{P} \ne \mathbb{NP}$

Thứ năm, mọi văn bản tôi đã đọc đều đề cập đến lớp nhưng không đưa ra ví dụ nào về các vấn đề mà nó chứa. Có ai không $\mathbb{RNC}$

Cuối cùng, câu trả lời này đề cập đến các vấn đề trong với thời gian thực hiện song song tuyến tính. Một số ví dụ về những vấn đề này là gì? Có các lớp phức tạp khác có chứa các thuật toán song song không được biết đến trong không? $\mathbb{P}$ $\mathbb{NC}$

— Mike Izbicki
nguồn

1

Ngoài ra, lưu ý câu hỏi tương tự này .

— Nicholas Mancuso

9

Thứ ba, vì , có thuật toán nào để chuyển đổi bất kỳ thuật toán logspace nào thành phiên bản song song không? $\sf{L} \subseteq \sf{NC}^2$

Nó có thể được hiển thị (Arora và Barak sách giáo khoa) bị phạt -time TM , rằng một không biết gì TM là TM có phong trào đầu không phụ thuộc vào đầu vào của nó ) có thể xây dựng một mạch để tính trong đó . $t(n)$ $M$ $M'$ $x$ $C_n$ $M(x)$ $|x| = n$

Phác thảo bằng chứng nằm dọc theo dòng có mô phỏng và xác định "ảnh chụp nhanh" về trạng thái của nó (tức là vị trí đầu, ký hiệu ở đầu) tại mỗi bước (nghĩ về nhật ký tính toán). Mỗi bước có thể được tính từ và trạng thái . Bởi vì mỗi ảnh chụp chỉ liên quan đến một chuỗi có kích thước không đổi và chỉ tồn tại một số lượng chuỗi không đổi có kích thước đó, nên ảnh chụp nhanh ở có thể được tính bằng một mạch có kích thước không đổi. $M'$ $M$ $t_i$ $t_i$ $x$ $t_{i-1}$ $t_i$

Nếu bạn soạn các mạch có kích thước không đổi cho mỗi chúng ta có một mạch tính . Sử dụng thực tế này, cùng với sự hạn chế rằng ngôn ngữ của nằm trong chúng ta thấy rằng mạch của chúng ta theo định nghĩa là thống nhất logspace , trong đó tính đồng nhất chỉ có nghĩa là các mạch của chúng ta trong họ mạch tính toán Tất cả đều có cùng một thuật toán. Không phải là một thuật toán tùy chỉnh cho mỗi mạch hoạt động trên kích thước đầu vào $t_i$ $M(x)$ $M$ $\sf{L}$ $C_n$ $\{C_n\}$ $M(x)$ $n$ .

Một lần nữa, từ định nghĩa về tính đồng nhất, chúng ta thấy rằng các mạch quyết định bất kỳ ngôn ngữ nào trong phải có hàm có thể tính toán được trong Họ mạch có nhiều nhất $\sf{L}$ $\text{size}(n)$ $O(\log n).$ $\sf{AC}^1$ $O(\log n)$ độ sâu .

Cuối cùng, có thể chỉ ra rằng đưa ra mối quan hệ trong câu hỏi. $\sf{AC}^1 \subseteq \sf{NC}^2$

Thứ tư, có vẻ như hầu hết mọi người cho rằng trong cùng một cách mà . Trực giác đằng sau này là gì? $\sf{NC} \neq \sf{P}$ $\sf{P} \neq \sf{NP}$

Trước khi chúng ta đi xa hơn, chúng ta hãy xác định gì $\sf{P}$ phương tiện -completeness.

Một ngôn ngữ là -complete nếu và mọi ngôn ngữ trong là logspace có thể giảm theo ngôn ngữ đó. Ngoài ra, nếu là -complete thì điều sau đây là đúng $L$ $\sf{P}$ $L \in \sf{P}$ $\sf{P}$ $L$ $\sf{P}$

$L \in \sf{NC} \iff \sf{P} = \sf{NC}$
$L \in \sf{L} \iff \sf{P} = \sf{L}$

Bây giờ chúng tôi coi là lớp ngôn ngữ được quyết định hiệu quả bởi một máy tính song song (mạch của chúng tôi). Có một số vấn đề trong dường như chống lại mọi nỗ lực song song hóa (ví dụ: Lập trình tuyến tính và Vấn đề giá trị mạch). Điều đó có nghĩa là, một số vấn đề nhất định đòi hỏi phải tính toán theo cách khôn ngoan. $\sf{NC}$ $\sf{P}$

Ví dụ: Bài toán giá trị mạch được định nghĩa là:

Cho một mạch , đầu vào và một cổng , đầu ra của trên bao nhiêu? $C$ $x$ $g \in C$ $g$ $C(x)$

Chúng tôi không biết làm thế nào để tính toán này bất kỳ tốt hơn so với tính toán tất cả các cửa mà đến trước . Với một số trong số họ có thể được tính toán song song, ví dụ nếu tất cả họ đều xảy ra tại một số bước thời gian , nhưng chúng tôi không biết làm thế nào tính toán đầu ra của cổng tại timestep và timestep cho những khó khăn rõ ràng các cổng tại yêu cầu đầu ra của các cổng tại ! $g'$ $g$ $t_i$ $t_i$ $t_{i+1}$ $t_{i+1}$ $t_i$

Đây là trực giác đằng sau . $\sf{NC} \neq \sf{P}$

Giới hạn đối với tính toán song song là một cuốn sách về -Completility trong tĩnh mạch tương tự của cuốn sách -Completility của Garey & Johnson . $\sf{P}$ $\sf{NP}$

— Nicholas Mancuso
nguồn

Cảm ơn vì 2 tài liệu tham khảo và câu trả lời một phần. Cuốn sách Giới hạn tính toán song song thực hiện công việc tốt hơn những cuốn sách khác mà tôi đã xem, nhưng vẫn còn tương đối cũ và không hoàn toàn kỹ lưỡng như tôi muốn.

— Mike Izbicki

3

Thứ năm, mọi văn bản tôi đã đọc đều đề cập đến lớp RNC nhưng không đưa ra ví dụ nào về các vấn đề mà nó chứa. Có ai không

Bài viết "Kết hợp dễ như đảo ngược ma trận" của Mulmuley, Vazirani và Vazirani có một số ví dụ về các vấn đề trong lớp . Cái chính là tìm một kết hợp tối đa, sau đó họ giảm các vấn đề khác cho vấn đề này. $\mathbb{RNC}^2$

— Mike Izbicki
nguồn