Là hải ly bận rộn là chức năng phát triển nhanh nhất được biết đến với con người?

24

Tôi chỉ có câu hỏi thú vị này. Chức năng phát triển nhanh nhất được biết đến với con người là gì? Có bận hải ly không?

Chúng ta biết các hàm như , nhưng hàm này phát triển chậm hơn , lần lượt tăng chậm hơn, mà lần lượt phát triển chậm hơn . Sau đó chúng ta có thể kết hợp các hàm, để cóphát triển nhanh hơn , v.v. $x^2$ $2^x$ $x!$ $x^x$ $(x^x)!$ $x^x$

Sau đó, chúng ta đến các hàm đệ quy như hàm của Ackermann phát triển nhanh hơn nhiều so với. Sau đó, mọi người mặc dù về chức năng hải ly bận rộn thậm chí còn phát triển nhanh hơn chức năng của Ackermann. $A(x,x)$ $(x^x)!$ $B(x)$

Tại thời điểm này tôi chưa nghe thấy bất kỳ chức năng nào khác phát triển nhanh hơn hải ly bận rộn. Có nghĩa là không có chức năng nào khác có thể phát triển nhanh hơn hải ly bận rộn? (Ngoài giai thừa của và như , v.v.) $B(x)$ $A(B(x), B(x))$

computability

— bồ đề
nguồn

25

Hải ly bận rộn ^ 2 phát triển nhanh hơn

— artistoex

2

@vzn Tại sao tăng trưởng chỉ có ý nghĩa đối với các chức năng tính toán? Tăng trưởng tiệm cận là một khái niệm toán học không liên quan đến khả năng tính toán.

— Raphael

8

@vzn cho BB tốc độ tăng trưởng hàm ý không thể tính toán được. nhưng không tính toán không ngụ ý tốc độ tăng trưởng cao.

— Sasho Nikolov

6

Xin chào @vzn. Chức năng mà nếu 'th tạm dừng máy Turing, và nếu không là uncomputable nhưng phát triển chậm hơn so với chức năng Ackerman. Mặt khác, thật dễ dàng để chứng minh rằng đối với một số hằng số cố định , với mọi , BB Ackerman . Nếu đây không phải là trường hợp, bạn có thể giải quyết vấn đề ngăn chặn bằng cách chạy một máy Turing với chiều dài mô tả chỉ Ackerman bước và nhìn thấy nếu nó dừng lại trước đó hay không.

f

$f$

f (n) = 1

$f(n) = 1$

n

$n$

f (n) = 0

$f(n) = 0$

c

$c$

n > c

$n > c$

(n) >

$(n) >$

(n)

$(n)$

T

$T$

n

$n$

(n)

$(n)$

— Aaron

4

@vzn có thể bạn có một ý tưởng khác về "phát triển nhanh hơn" .. điều tôi (và tôi tin người khác) có nghĩa là thứ tự từng phần được đưa ra bởi .

f = ω (g)

$f = \omega(g)$

— Sasho Nikolov

49

Hàm hải ly bận rộn phát triển nhanh hơn bất kỳ chức năng tính toán nào . Tuy nhiên, nó có thể được tính toán bằng máy Turing đã được cấp quyền truy cập vào một nhà tiên tri để giải quyết vấn đề tạm dừng. Sau đó, bạn có thể xác định hàm hải ly bận "thứ hai", phát triển nhanh hơn bất kỳ chức năng nào có thể được tính toán ngay cả bởi bất kỳ máy Turing nào có lời tiên tri cho vấn đề tạm dừng. Bạn có thể tiếp tục làm điều này mãi mãi, xây dựng một hệ thống phân cấp các hàm hải ly bận rộn đang phát triển nhanh hơn bao giờ hết.

Xem bài tiểu luận xuất sắc của Scott Aaronson về chủ đề này, Ai có thể đặt tên cho số lớn hơn? .

— Aaron
nguồn

Bạn có tài nguyên / lý do về lý do tại sao một orory TM cho HALT_TM có thể giải quyết hải ly bận rộn không?

— Ryan

1

Ryan: Giải quyết vấn đề tạm dừng là (tính toán) tương đương với việc biết Busy Beaver. 1) Có program[length=n]dừng lại không? Mô phỏng nó cho BusyBeaver(n)các bước. 2) là BusyBeaver(n)gì? Đối với mọi chương trình có độ dài <n, hãy vứt nó đi nếu nó dừng lại và lấy điểm tối đa trong số các chương trình khác.

— ninjagecko

@ninjagecko có nghĩa là bạn không dừng lại

— PyRulez

35

Không có thứ gọi là "chức năng phát triển nhanh nhất". Trong thực tế, thậm chí không có chuỗi các chức năng phát triển nhanh nhất. Điều này đã được thể hiện bởi Hausdorff. Cho hai hàm , nói rằng phát triển nhanh hơn nếu Cho hàm số , hàm phát triển nhanh hơn :Cho một chuỗi các hàm , hàm phát triển nhanh hơn tất cả các hàm: $f,g\colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ $g$ $f$

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{f (n)} = \infty .

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{g(n)}{f(n)} = \infty.$

f

$f$

g

$g$

f

$f$

g (n) = n f (n) .

$g(n) = nf(n).$

f_{n}

$f_n$

g

$g$

g (n) = n max_{m \leq n} f_{m} (n) .

$g(n) = n \max_{m \leq n} f_m(n).$ Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu có "quy mô" các chức năng phát triển nhanh nhất hay không. Đây là một tập hợp các hàm được sắp xếp hợp lý , đó là "cofinal", nghĩa là, với bất kỳ hàm , có một hàm phát triển nhanh hơn . (Thay vì một tập hợp được sắp xếp tốt, chúng ta có thể nói một cách tương đương về một chuỗi, nghĩa là, bất kỳ hai hàm nào trong tập hợp cần phải có thể so sánh được.) trong khi trong mô hình của Cohen làm sai lệch CH (thêm thực), không tồn tại quy mô.

g_{α}

$g_\alpha$

f

$f$

g_{α}

$g_\alpha$

ω_{1}

$\omega_1$

— Yuval Filmus
nguồn

5

Các câu trả lời khác giải quyết câu hỏi trực tiếp. Đối với nền tảng sâu hơn và sâu hơn, bài viết này của Lafitte về chủ đề này xem xét bối cảnh lớn hơn của các chức năng giống như hải ly bận rộn. Nó cũng có một số kết quả và định lý phù hợp với ý tưởng vào một khuôn khổ tổng quát hơn. Nó cho thấy rằng (không chính thức) "các hàm giống như hải ly bận rộn" có mối liên hệ chặt chẽ với các hiện tượng không hoàn chỉnh Chaitin (Định lý 2.1). Nó cũng cho thấy rằng có những lý thuyết không đủ "mạnh mẽ" để "hiểu" các chức năng giống như hải ly bận rộn, tức là chúng không thể chứng minh được trong những lý thuyết đó do sự không hoàn chỉnh liên quan đến Godel. Nó cho thấy ý tưởng giả định các kết quả giống hải ly bận rộn như các tiên đề và một sự tiến triển hợp lý của các lý thuyết có kết quả tương tự như các ý tưởng ban đầu được Turing hình dung.

[1] Những con hải ly bận rộn trở nên hoang dã bởi Grégory Lafitte. Trừu tượng:

Chúng tôi hiển thị một số kết quả không hoàn hảo à la Chaitin bằng cách sử dụng các hàm hải ly bận rộn. Sau đó, với sự trợ giúp của logic thông thường, chúng tôi chỉ ra làm thế nào để có được một lý thuyết trong đó các giá trị của các hàm hải ly bận rộn có thể được thiết lập một cách có thể chứng minh và sử dụng điều này để tiết lộ một cấu trúc về khả năng chứng minh các giá trị của các hàm này.

— vzn
nguồn

Câu trả lời khác là hoàn toàn khác nhau. hmmm, nói về "nhấn mạnh vào ngôn ngữ", một ví dụ về điều đó có phải là người điều hành nói "địa ngục không" ? dù sao các chữ viết tắt có thể được xem là một món quà hào phóng cho những người thích kiếm được +2 cho các chỉnh sửa =)

— vzn

1

Bạn tự nói rằng điều này không trả lời trực tiếp, vậy tại sao bạn không đăng bình luận?

— Raphael

0

Các định lý phân cấp không gian và thời gian của Hartmanis-Stearns chứng minh rằng không có chức năng "phát triển nhanh nhất" về mặt thời gian hay không gian bởi vì quy mô không bị ràng buộc. Nhưng nó đưa ra một trật tự sao cho tất cả các hàm tính toán / đệ quy "hoạt động tốt" có thể được so sánh. Nhưng nhiều hàm toán học "phát triển nhanh" dường như chưa được đánh giá về độ phức tạp thời gian / không gian cho đến nay mặc dù nó là một "lỗ hổng" lý thuyết rõ ràng hoặc thậm chí rõ ràng để lấp đầy. Làm như vậy có thể dẫn đến "định lý cầu" quan trọng.

— vzn
nguồn