Tính toán vô hạn trong thời gian hữu hạn

Đây có lẽ là một suy nghĩ ngớ ngẩn, nhưng giả sử chúng ta có một máy tính được lập trình để thực hiện một chuỗi tính toán vô hạn và giả sử phép tính mất giây để hoàn thành. Sau đó, máy tính này có thể thực hiện vô số phép tính trong một khoảng thời gian hữu hạn. $i^\text{th}$ $1/2^i$

Tại sao điều này là không thể? Có giới hạn thấp hơn về việc mất bao lâu để thực hiện một phép tính không tầm thường?

computability computation-models

— DS
nguồn

Khái niệm liên quan, tính toán vô hạn sử dụng năng lượng hữu hạn: Trí thông minh vĩnh cửu của Dyson .

— Peter

Câu trả lời:

"Loại" máy tính này được gọi là Máy Zeno . Mô hình tính toán của nó rơi vào một thể loại gọi là Hypercomputing . Các mô hình siêu máy tính là trừu tượng toán học và do các cách thức mà chúng được xác định để hoạt động, chúng không thể thực hiện được.

Lấy máy Zeno của bạn làm ví dụ. Nếu chúng ta tưởng tượng Máy Zeno là máy tính bất kỳ loại nào, thì việc sử dụng bàn tính hay mạch tích hợp không thành vấn đề. Giả sử dữ liệu chương trình được sử dụng bởi máy được cung cấp cho nó bằng một băng ký hiệu dài vô hạn (giống như Máy Turing).

Tất nhiên, chúng ta biết từ toán học rằng:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}... = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n$

mà chúng ta nói bằng . Do đó, việc tính toán sẽ hoàn thành sau 1 giây vì tổng hoàn toàn hội tụ. $1$

Nhưng sự hội tụ này, tất nhiên, phụ thuộc vào đi tới (và đạt tới) vô cùng. Theo nghĩa vật lý, điều này có nghĩa là khi thời gian cần thiết cho mỗi phép tính nhỏ hơn, "đầu đọc" của máy tính sẽ phải nén dọc theo các ký hiệu trong băng nhanh hơn và nhanh hơn. Đến một lúc nào đó, tốc độ này sẽ vượt quá tốc độ ánh sáng. $n$

Vì vậy, trả lời câu hỏi thứ hai của bạn, ràng buộc thấp nhất tuyệt đối có thể có trong một phép tính có thể theo thứ tự thời gian Planck, với tốc độ ánh sáng là yếu tố giới hạn chính trong các mô hình tính toán lý thuyết, nhưng hợp lý.

— Lý thuyết của mọi thứ
nguồn

Ngoài ra còn có các yêu cầu về năng lượng cho mỗi thao tác, lật một chút lần đòi hỏi nhiều năng lượng hơn so với trong mặt trời của chúng ta

2^{256}

$2^{256}$

— quái vật ratchet

Chương trình này: 10: GOTO 10 kết thúc trên Máy Zeno?

— Cano64

Nói một cách đơn giản hơn, toán học giả định rằng một "phép tính" là vô cùng chia hết về phạm vi. Tuy nhiên, đó không phải là trường hợp của bất kỳ máy vật lý nào, vì cuối cùng bạn cũng đạt đến điểm mà bạn đạt được đơn vị công việc nhỏ nhất mà máy có thể thực hiện. Không thể tiếp tục chia nhỏ phép tính sau thời điểm đó, mặc dù toán học cho phép bạn thực hiện. Nói cách khác, cỗ máy phát ra từ lâu trước khi bạn thực sự tiếp cận phần cuối của chuỗi tính toán vô hạn. Tại một số thời điểm, mỗi lần tính toán ngừng giảm và cuối cùng bạn cần thời gian vô hạn.

— aroth

@ Cano64 Tôi không nghĩ vậy. Tôi tin rằng tiêu chí cho tính quyết định trong siêu tính toán là tổng thời gian của phép tính hoàn toàn hội tụ.

— Lý thuyết về mọi thứ

Thời gian dành cho một tính toán nguyên thủy bị giới hạn bởi tốc độ ánh sáng và kích thước của các nguyên tử, theo như chúng tôi hiểu về vật lý vào chính ngày này, ngày 15 tháng 9 năm 2015.

Đơn vị tính toán cần phải được xây dựng từ một thứ gì đó có kích thước khác không (các nguyên tử) và để tính toán hoạt động, điện hoặc ánh sáng sẽ cần phải nén qua nó, sẽ bị giới hạn bởi thời gian cần thiết để kéo qua không khoảng cách -zero.

— Dave Clarke
nguồn

Một ví dụ cụ thể trong lịch sử gần đây về ranh giới đẩy khoa học là từ tính khổng lồ , một khám phá giành giải thưởng Nobel cho phép mật độ dữ liệu trên các ổ đĩa cứng trước đây được cho là không thể. Có rất nhiều, rất nhiều nếu bạn quay trở lại; cố gắng giải thích khả năng "điện thoại thông minh" cho một người từ năm 1500 sau Công nguyên. (Họ có thể đốt bạn như một phù thủy, vì vậy hãy cẩn thận.) Vì vậy, tôi nghĩ rằng chúng ta không nên cho rằng kiến thức vật lý hiện tại của chúng ta gây ra những giới hạn cứng về những gì có thể.

— Raphael

-1

$\Sigma_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n$ $1$

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$c_1$ $c_1$

Chỉnh sửa : Theo ghi nhận của @aroth, sự tương tự này giả định rằng chúng ta có thể tiếp tục chia nước mãi mãi; rằng không có nguyên tử không thể chia nhỏ nhất. Điều này làm tăng điểm thú vị (tôi nghĩ) rằng chúng ta cũng phải giả sử thời gian để chia hết mức tùy ý để tính toán kết thúc trong thời gian hữu hạn.

— epa095
nguồn

"Và rõ ràng là bạn sẽ luôn có nhiều nước hơn trong xô màu xanh để đổ" - Không nhất thiết. Với một thiết bị rót đủ chính xác, cuối cùng bạn sẽ đạt đến điểm có 2 phân tử nước trong xô màu xanh. Sau đó 1 phân tử. Sau đó, bạn hoặc đổ phân tử cuối cùng, hoặc bạn không. Hoặc bạn phá vỡ nó thành các nguyên tử cơ bản của nó, nhưng sau đó nó không còn là nước (hoặc có thể chịu được ở STP). Vấn đề là, bạn sẽ đi xuống phân tử nước cuối cùng trước khi bạn đi đến cuối chuỗi vô tận, vì vậy sẽ không "luôn luôn" là nước trong xô màu xanh.

— aroth

@aroth: yeah đúng, để tương tự hoạt động, bạn phải nghĩ về nước như thỏa mãn "mật độ", một loại "luôn luôn chia hết". Quan điểm của bạn là thú vị vì nó làm nổi bật một cái gì đó quan trọng; để việc tính toán kết thúc trong thời gian hữu hạn, thời gian cũng cần phải dày đặc / luôn chia hết. Nếu tồn tại một khoảng thời gian ngắn nhất, một đơn vị thời gian nguyên tử không chia hết, thì việc tính toán vô hạn sẽ mất thời gian vô hạn (hoặc mỗi lần tính toán không mất thời gian sau mỗi thời điểm).

— epa095

\sum_{i = 1}^{\infty} 2^{- i}

$\sum_{i=1}^\infty 2^{-i}$

2^{- i}

$2^{-i}$

@ david-r Richby: Không khôi phục vấn đề theo một cách khác, đưa ra một cách dễ dàng hơn để suy nghĩ về nó, chính xác đó là gì để cung cấp trực giác? Cũng lưu ý rằng bạn cũng đang khôi phục vấn đề, từ lượng thời gian đến tổng số hữu tỷ. Một bước (cực kỳ) ngắn có, nhưng nghỉ ngơi không hơn không kém. Nếu bạn biết về sự hội tụ của các tổng số hữu tỉ, thì việc nghỉ ngơi sẽ giúp bạn dễ hiểu hơn, nhưng đối với một số người tôi chắc chắn rằng việc hiểu về mặt nước sẽ dễ hiểu hơn. Ít nhất là cách đầu tiên tôi hiểu tại sao một số tiền vô hạn hội tụ và một số thì không.

— epa095

@ epa095 Cung cấp trực giác liên quan đến việc giải thích một tình huống lạ bằng cách tham khảo một tình huống quen thuộc và sử dụng sự quen thuộc với một tình huống để giúp hiểu về tình huống khác. Bạn không làm điều đó: bạn đang cố gắng giải thích một tình huống lạ lẫm (tính một tổng số vô hạn, hội tụ) bằng một tình huống khác (đổ xô nước vô hạn chia hết với độ chính xác hoàn hảo). Những người biết về sự hội tụ của các khoản tiền không cần sự tương tự; đối với những người không biết về sự hội tụ của các khoản tiền, việc đổi tên "số hợp lý" thành "số lượng nước giả định" không giúp ích gì.

— David Richerby