Là một lời tiên tri có bao giờ hữu ích nếu bạn không thể kiểm soát các trường hợp đầu vào?

Giả sử là một lời tiên tri cho một vấn đề trong , nhưng tôi không thể gọi lời tiên tri này với bất kỳ trường hợp đầu vào nào. Thay vào đó, bất cứ khi nào tôi gọi tôi được trả về một thể hiện và giải pháp ngẫu nhiên. Vì vậy, tôi biết rằng trên thực tế có khả năng giải quyết các vấn đề tùy ý , tôi chỉ không thể chỉ định vấn đề nào tôi muốn giải quyết. $F$ $\mathbb{NP}$ $F$ $F$ $\mathbb{NP}$

Có thể sử dụng một lời tiên tri như vậy để giải quyết vấn đề -complete nhanh hơn không? Ruột của tôi nói không bởi vì việc sử dụng ngây thơ của nhà tiên tri vẫn cần thời gian bằng cách gọi nhà tiên tri đủ để kiểm tra mọi giải pháp. Tôi không thể nghĩ ra cách nào để chứng minh điều này. $\mathbb{NP}$ $O(2^n)$

complexity-theory np-complete

— Mike Izbicki
nguồn

Có lẽ bạn nên sửa đổi câu hỏi theo cách này: "... bất cứ khi nào tôi gọi tôi đều được trả về một thể hiện ngẫu nhiên có kích thước với phân phối đồng đều ..." (trong đó là kích thước của đầu vào của máy Turing có thể truy cập ).

F

$F$

n

$n$

n

$n$

F

$F$

— Vor

@Vor, tôi cũng nghĩ về việc thêm quy định đó, nhưng tôi không chắc nó thực sự tạo ra sự khác biệt nào cả. Ngay cả khi phân phối sao cho số lượng cuộc gọi đa thức nhận được một số trường hợp nhất định, thì nó vẫn sẽ yêu cầu nhiều hơn các cuộc gọi đa thức để có được phần lớn các trường hợp. Tôi nghĩ rằng điều duy nhất quan trọng là phân phối là bằng cách nào đó tôi không thể thay đổi phân phối để làm lệch nó theo hướng có lợi cho trường hợp cụ thể của tôi.

— Mike Izbicki

Tôi đồng ý với bạn, nhưng không có "trường hợp ngẫu nhiên" ràng buộc / phân phối là vô nghĩa.

— Vor

Tôi nghĩ bởi "nhanh hơn" bạn có nghĩa là "trong P" nhưng thay vào đó bạn có thể muốn hỏi nếu đó là trong BPP .

— Xodarap

@Xodarap Tôi quan tâm nhiều hơn đến một phương pháp sử dụng một nhà tiên tri như vậy để chuyển đổi từ bất kỳ lớp phức tạp hơn (giả thiết) nào thành một lớp yếu hơn. Không nhất thiết NP -> P. Ngoài ra, tôi không đặc biệt thấy các lớp xác suất sẽ hữu ích như thế nào.

— Mike Izbicki

Câu trả lời:

Như Xodarap đã chỉ ra, nếu bạn yêu cầu thuật toán của mình với orest ngẫu nhiên trực tiếp để luôn đưa ra câu trả lời đúng, thì lời tiên tri ngẫu nhiên là vô ích. Vấn đề sẽ trở nên thú vị hơn nếu chúng ta cho phép xác suất sai sót nhỏ (trong đó xác suất liên quan đến trường hợp ngẫu nhiên được chọn bởi nhà tiên tri).

Ngoài ra, như Vor đã chỉ ra trong các bình luận về câu hỏi, thật vô nghĩa khi nói ra một ví dụ ngẫu nhiên, mà không chỉ định phân phối xác suất. Một trong những giả định hợp lý để đưa ra ở đây là trường hợp ngẫu nhiên này được chọn thống nhất ngẫu nhiên từ tập hợp tất cả các chuỗi có độ dài p ( n ), trong đó n là độ dài đầu vào và p là một đa thức cố định. Chúng ta có thể đưa ra các giả định khác, yếu hơn về phân phối xác suất.

Ở đây chúng ta sẽ đưa ra giả định khá chung chung và sẽ chỉ ra rằng sự tồn tại của thuật toán thời gian đa thức ngẫu nhiên với một thuật toán ngẫu nhiên xuất phát đối với các vấn đề hoàn thành NP có một hậu quả đáng ngạc nhiên ngay cả dưới giả định yếu này.

Chúng ta hãy bỏ yêu cầu rằng nhà tiên tri ngẫu nhiên trên YouTube sẽ giải quyết một vấn đề trong NP (trong trường hợp được chọn ngẫu nhiên). Bây giờ, orest ngẫu nhiên có thể là bất kỳ phân phối xác suất được xác định trước nào trên các chuỗi có độ dài đa thức và mỗi khi được hỏi, nó sẽ phát ra một chuỗi theo phân phối xác suất này. Yêu cầu duy nhất là phân phối xác suất này chỉ phụ thuộc vào độ dài đầu vào. Lưu ý rằng mô hình của bạn thực sự là một trường hợp đặc biệt của mô hình này. Trong mô hình của bạn, phân phối xác suất được yêu cầu phải có dạng sau: trước tiên, nó chọn một thể hiện ngẫu nhiên y thống nhất từ một tập hợp tùy thuộc vào độ dài đầu vào, sau đó trả về một cặp ( y , g ( y )), trong đó g: {0, 1} * → {0, 1} là hàm đặc trưng của một số vấn đề quyết định trong NP. Bây giờ chúng tôi cho phép mọi phân phối xác suất, miễn là phân phối được xác định chỉ bằng độ dài đầu vào.

Một lời tiên tri hay khác của hình thức chung này được gọi là một lời khuyên ngẫu nhiên . Lớp các vấn đề quyết định có thể được quyết định bởi thuật toán đa thức thời gian ngẫu nhiên với một lời khuyên ngẫu nhiên (với lỗi hai mặt bị ràng buộc) được gọi là BPP / rpoly, và được biết rằng lớp này bằng P / poly . (Có thể chứng minh BPP / rpoly⊆P / poly theo cách tương tự như BPPP / poly bao gồm nổi tiếng. Để chứng minh điều sau, hãy xem ví dụ Định lý 6.3 của Goldreich [Gol08].)

Điều này có nghĩa là nếu một vấn đề hoàn thành NP có thể được giải quyết trong mô hình của bạn, thì NP⊆P / poly. Tuy nhiên, người ta biết rằng NP⊆P / poly ngụ ý rằng hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ xuống cấp thứ hai [KW98, Cai07]. Hầu hết các nhà lý thuyết phức tạp coi sự sụp đổ của hệ thống phân cấp đa thức là một bất ngờ lớn. Nếu chúng tôi tin rằng hệ thống phân cấp đa thức không sụp đổ, thì các vấn đề hoàn thành NP không thể được giải quyết một cách hiệu quả với ý nghĩa ngẫu nhiên của nhà tiên tri.

Người giới thiệu

[Cai07] Jin-Yi Cai. S ₂^p^{NP NP} ZPP . Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống , 73 (1): 25 Hàng35 , Tháng 2 năm 2007 DOI: 10.1016 / j.jcss.2003.07.015 .

[Gol08] Goldreich. Độ phức tạp tính toán: Một quan điểm khái niệm . Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2008.

[KW98] Julian Köbler và Osamu Watanabe. Hậu quả sụp đổ mới của NP có mạch nhỏ. Tạp chí SIAM về máy tính , 28 (1): 311 Công trình, năm 1998. DOI: 10.1137 / S0097539795296206 .

— Tsuyoshi Ito
nguồn

Chúng ta hãy suy nghĩ cụ thể về vấn đề hoàn thành NP yêu thích của mọi người: 3SAT.

Có thể (mặc dù không chắc) rằng mỗi lần bạn gọi lời tiên tri của mình, nó sẽ cho bạn một nhiệm vụ cho cùng một ví dụ. Cụ thể, mỗi lần nó có thể cho bạn một bài tập cho câu tầm thường:

(x \lor x \lor x) \land (x \lor x \lor x) Giáo dục

$(x\vee x \vee x)\wedge(x\vee x\vee x)\dots$

Nhưng bạn đã biết nhiệm vụ cho việc này. Vì vậy, Oracle của bạn không thể hữu ích.

$A$ $P^A\not=NP$ $P\not=NP$

— Xodarap
nguồn

Điều đó không có nghĩa là bất kỳ hai trường hợp 3SAT nào cũng có thể giảm thời gian đa thức. Chỉ có điều chúng là thời gian đa thức có thể rút ngắn được đưa ra một lời tiên tri ngẫu nhiên. Đúng?

— Mike Izbicki

Làm rõ; cho tôi biết nếu tôi không hiểu ý của bạn là "tiên tri ngẫu nhiên".

— Xodarap

Chà, sẽ mất một số lượng cuộc gọi theo cấp số nhân để có được một nhiệm vụ cho cùng một ví dụ. Trên thực tế, sẽ chỉ cần nhiều cuộc gọi như sẽ nhận được một nhiệm vụ cho vấn đề cụ thể mà tôi đang cố gắng giải quyết! Bạn đang vứt bỏ tất cả công việc đó, và có thể có một số cách thông minh để sử dụng nó.

— Mike Izbicki

@ Mike: Mức độ phức tạp liên quan đến việc trường hợp xấu nhất kịch bản. Vì trong trường hợp xấu nhất, nhà tiên tri là vô dụng (như hình trên), đó là tất cả những gì chúng ta cần biết.

— Xodarap