Cách tìm các đỉnh trên đường dẫn đơn giản giữa hai đỉnh đã cho trong đồ thị có hướng

Cho một đồ thị có hướng và hai đỉnh S và T riêng biệt, có thuật toán thời gian đa thức tìm mọi đỉnh nằm trên ít nhất một đường đơn giản từ S đến T không?

Không khó để tìm thấy tất cả các đỉnh là cả hai thành công của S và tiền thân của T nhưng đây chỉ là một siêu bộ của tập hợp ở trên. Ví dụ, hãy xem xét biểu đồ sau: S -> a; a -> b; b -> c; b-> T; c -> a

Trong khi a, b và c đều là người kế thừa của S và tiền thân của T, không có con đường đơn giản nào từ S đến T đi qua c (vì mọi đường dẫn từ S đến T đi qua c đều chứa hai lần a và b).

Một vấn đề liên quan chặt chẽ là như sau: Cho một đồ thị có hướng và ba đỉnh S và T và I khác nhau, có một thuật toán thời gian đa thức để quyết định xem có tồn tại một đường đơn giản từ S đến T đi qua I.

Có thể sử dụng thuật toán đa thức cho vấn đề sau này để xây dựng thuật toán đa thức cho vấn đề trước vì chúng ta có thể áp dụng thành công bằng cách thay thế I bằng mọi nút trong biểu đồ (hoặc hiệu quả hơn cho mọi nút là cả một thành công của S và tiền thân của T).

Cảm ơn câu trả lời của bạn. Như chủ foo đã chỉ ra , vấn đề thứ hai - đưa ra một đồ thị có hướng và ba đỉnh khác nhau và i , quyết định xem có tồn tại một đường dẫn đơn giản từ s đến t đi qua i hay không - thực sự là NP hoàn chỉnh.$s, t$$i$$s$$t$$i$

Từ bài báo Vấn đề biến đổi cấu trúc biểu đồ con được định hướng bởi Steven Fortune, John E. Hopcroft và James Wyllie, rõ ràng biểu đồ mô hình là một vấn đề mà vấn đề biến đổi hình học con được định hướng cố định là NP hoàn chỉnh vì nó là một cây sâu hai.$s \to i \to t$

Dưới đây là một vài định nghĩa từ bài viết này:

Vấn đề đồng nhất của sơ đồ con là để xác định: nếu một đồ thị mẫu p có cấu trúc đồng nhất với một sơ đồ con của đồ thị đầu vào G. Biểu đồ đồng nhất ánh xạ các nút của P đến các nút của G và cung của P thành các đường đơn giản trong G. Các đồ thị P và G là hoặc cả hai hướng hoặc cả hai vô hướng. Các đường dẫn trong G tương ứng với các cung trong P phải tách rời từng nút. Ánh xạ của các nút trong P đến các nút trong G có thể được chỉ định hoặc tùy ý. Vấn đề này có thể được xem như là một vấn đề tìm đường tổng quát. Ví dụ: nếu biểu đồ mẫu bao gồm hai cung khác nhau và ánh xạ nút được đưa ra, thì vấn đề tương đương với việc tìm một cặp đường dẫn khác nhau giữa các đỉnh được chỉ định trong biểu đồ đầu vào.

Về cơ bản, chỉ có các đồ thị mẫu là cây có chiều sâu một và đồ thị đảo ngược của chúng (có thể có các vòng cung trên gốc) có thể được giải trong thời gian đa thức.

Đặt C là tập hợp của tất cả các đồ thị có hướng với một nút phân biệt được gọi là gốc sở hữu thuộc tính mà gốc là đầu của mỗi cung hoặc gốc là đuôi của mỗi cung. Lưu ý rằng gốc có thể là cả đầu và đuôi của một số cung và do đó các vòng ở gốc được cho phép. Tương tự, một đồ thị nằm trong C nếu, khi tất cả các vòng ở gốc bị xóa và nhiều cung giữa các cặp nút được hợp nhất thành một cung, đồ thị kết quả là một cây có chiều cao nhiều nhất là một.

[...]

Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra rằng đối với mỗi mẫu P không có trong C, bài toán đồng dạng hóa sơ đồ con cố định với mẫu P là NP-đầy đủ.

Tôi chưa đọc bằng chứng nên tôi sẽ dừng ở đây.

Ngoài ra còn có một kết nối chặt chẽ từ vấn đề tôi vừa đề cập và hai vấn đề đường dẫn rời rạc như được chỉ ra bởi một trong những đồng nghiệp của tôi. Vấn đề hai đường dẫn dijsoint là:

$s_1, t_1, s_2, t_2$$s_1$$t_2$$s_2$$t_2$

$s \to i \to t$$i$$t_1 \to i$$i \to s_2$

$s \to i \to t$$s \to i \to t$

Đây là một vấn đề khó NP.

@article{DBLP:journals/tcs/FortuneHW80,
  author    = {Steven Fortune and
               John E. Hopcroft and
               James Wyllie},
  title     = {The Directed Subgraph Homeomorphism Problem},
  journal   = {Theor. Comput. Sci.},
  volume    = {10},
  year      = {1980},
  pages     = {111-121},
  ee        = {http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(80)90009-2},
  bibsource = {DBLP, http://dblp.uni-trier.de}
}